《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. [2024邢台校级月考]下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ）
A. $\begin{cases}xy = 5,\\y = 0\end{cases}$
B. $\begin{cases}x - 5y = 1,\\x + y = 3\end{cases}$
C. $\begin{cases}x^{2}-y = 6,\\x + 3y = 0\end{cases}$
D. $\begin{cases}2x + y = 1,\\x + y + 3z = 2\end{cases}$

答案： B

2. [2024沧州校级月考]已知关于$x$，$y$的方程$3x^{m - 3}+4y^{n + 2}=11$是二元一次方程，则$m + n=$ （ ）
A. 3
B. - 3
C. 1
D. - 1

答案： A [点拨]因为$3x^{m - 3}+4y^{n + 2}=11$是二元一次方程，所以$m - 3 = 1$，$n + 2 = 1$，解得$m = 4$，$n = - 1$。所以$m + n = 4+( - 1)=3$，故选 A。

3. 母题教材P4练习T4 已知$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$是关于$x$，$y$的方程$x + ky = 3$的一组解，则$k$的值为（ ）
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 3

答案： B [点拨]因为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$是关于$x$，$y$的方程$x + ky = 3$的一组解，所以把$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$代入到原方程，得$1 + 2k = 3$，解得$k = 1$，故选 B。

4. 新视角 结论开放题 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 2,\\A = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$，则多项式$A$可以是________（写出一个即可）.

答案： $x - y$（答案不唯一）

5. [2024唐山校级期中]关于$x$，$y$的二元一次方程$3x + 2y = 15$的非负整数解有________组.

答案： 3 [点拨]因为$3x + 2y = 15$，所以$x = 5-\frac{2y}{3}$。所以非负整数解是$\begin{cases}x = 5\\y = 0\end{cases}$，$\begin{cases}x = 3\\y = 3\end{cases}$，$\begin{cases}x = 1\\y = 6\end{cases}$，共有 3 组。

6. 解方程组：
(1)$\begin{cases}x - 2y = 3,\\\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=\frac{13}{4};\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{2(x - y)}{3}-\frac{x + y}{4}=-1,\\6(x + y)-4(2x - y)=16.\end{cases}$

答案： [解]
(1)$\begin{cases}x - 2y = 3,①\\\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=\frac{13}{4},②\end{cases}$
由①，得$x = 2y + 3$。③
把③代入②，得$y+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}y=\frac{13}{4}$，解得$y = 1$。
把$y = 1$代入③，得$x = 5$。
所以原二元一次方程组的解是$\begin{cases}x = 5\\y = 1\end{cases}$。
(2)原方程组整理，得$\begin{cases}5x - 11y = - 12,①\\-x + 5y = 8,②\end{cases}$
①+②×5，得$14y = 28$，解得$y = 2$，
把$y = 2$代入②，得$x = 2$，
所以原二元一次方程组的解是$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$。

7. 下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）
A. $\begin{cases}x = 5,\\x + y = 7,\\x + y + z = 6\end{cases}$
B. $\begin{cases}x + y = 3,\\y + z = 4,\\z + x = 2\end{cases}$
C. $\begin{cases}4x - 9z = 17,\\3x + y + 15z = 18,\\x + 2y + 3z = 2\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + y - z = 5,\\xyz = 1,\\x - 3y = 2\end{cases}$

答案： D

8. 解方程组：$\begin{cases}3x + 2y + 5z = 2,\\x - 2y - z = 6,\\4x + 2y - 7z = 30.\end{cases}$

答案： [解]$\begin{cases}3x + 2y + 5z = 2,①\\x - 2y - z = 6,②\\4x + 2y - 7z = 30,③\end{cases}$
①+②，得$4x + 4z = 8$，即$x + z = 2$，④
②+③，得$5x - 8z = 36$，⑤
④×5 - ⑤，得$13z = - 26$，解得$z = - 2$，
把$z = - 2$代入④，得$x = 4$，
把$x = 4$，$z = - 2$代入②，得$y = 0$。
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = 4\\y = 0\\z = - 2\end{cases}$。

9. [2024邯郸校级期中]今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄. 设哥哥今年$x$岁，妹妹今年$y$岁，则得到的方程组是 （ ）
A. $\begin{cases}x + 2 = 3(y + 2),\\x = 2y\end{cases}$
B. $\begin{cases}x - 2 = 3(y - 2),\\x = 2y\end{cases}$
C. $\begin{cases}x + 2 = 2(y + 2),\\x = 3y\end{cases}$
D. $\begin{cases}x - 2 = 3(y - 2),\\x = 3y\end{cases}$

答案： B