《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

8. 已知$x$，$y$为任意有理数，记$M = x^{2}+y^{2}$，$N = 2xy$，则$M$与$N$的大小关系为 （ ）
A. $M＞N$
B. $M\geq N$
C. $M\leq N$
D. 不能确定

答案： B　[点拨]
∵M=x²+y²,N=2xy,
∴M−N=x²+y²−2xy=(x−y)²≥0.
∴M≥N.

9. 新考法 作差法 已知$P = 2x^{2}+4y + 13$，$Q = x^{2}-y^{2}+6x - 1$，比较$P$，$Q$的大小.

答案： [解]P−Q=(2x²+4y+13)−(x²−y²+6x−1)=x²−6x+y²+4y+14=(x−3)²+(y+2)²+1.
　因为(x−3)²≥0,(y+2)²≥0,
　所以P−Q=(x−3)²+(y+2)²+1≥1.所以P＞Q.

10. 已知$a$，$b$，$c$是三角形$ABC$三条边的长，且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + bc + ca$. 试判断三角形$ABC$的形状.

答案： [解]
∵a²+b²+c²=ab+bc+ca,
　
∴a²+b²+c²−ab−bc−ca=0,
　
∴2a²+2b²+2c²−2ab−2bc−2ca=0,
　
∴a²−2ab+b²+b²−2bc+c²+a²−2ca+c²=0,
　
∴(a−b)²+(b−c)²+(a−c)²=0,
　
∴a−b=0,b−c=0,a−c=0,
　
∴a=b=c,即三角形ABC的形状为等边三角形.

11. 新考法 阅读类比法 阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如$ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）的多项式变形为$a(x + m)^{2}+n$的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式$ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如：$x^{2}+4x - 5=x^{2}+4x+(\frac{4}{2})^{2}-(\frac{4}{2})^{2}-5=(x + 2)^{2}-9=(x + 2 + 3)(x + 2 - 3)=(x + 5)(x - 1)$.
根据以上材料，解答下列问题.
(1)用配方法分解因式：$x^{2}+2x - 8$；
(2)求多项式$x^{2}+4x - 3$的最小值；
(3)已知$a$，$b$，$c$是三角形$ABC$的三边长，且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}+50 = 6a + 8b + 10c$，求三角形$ABC$的周长.

答案： [解]
(1)x²+2x−8=x²+2x+1−1−8=(x+1)²−9 =(x+1+3)(x+1−3)=(x+4)(x−2).
(2)x²+4x−3=x²+4x+($\frac{4}{2}$)²−($\frac{4}{2}$)²−3=(x+2)²−7,因为(x+2)²≥0,所以(x+2)²−7≥−7.
　所以多项式x²+4x−3的最小值为−7.
(3)因为a²+b²+c²+50=6a+8b+10c,
　所以a²+b²+c²+50−6a−8b−10c=0.
　所以a²−6a+9+b²−8b+16+c²−10c+25−9−16−25+50=0.
　所以(a−3)²+(b−4)²+(c−5)²=0.
　所以a−3=0,b−4=0,c−5=0.
　所以a=3,b=4,c=5.
　所以三角形ABC的周长为a+b+c=3+4+5=12.

12. 观察下列各式：
$1^{2}+(1×2)^{2}+2^{2}=9 = 3^{2}$；
$2^{2}+(2×3)^{2}+3^{2}=49 = 7^{2}$；
$3^{2}+(3×4)^{2}+4^{2}=169 = 13^{2}$；
…
你发现了什么规律？请用含有字母$n$（$n$为正整数）的等式表示出来，并说明理由.

答案： [解]规律为n²+[n(n+1)]²+(n+1)²=[n(n+1)+1]².理由如下:
　n²+[n(n+1)]²+(n+1)²=[n(n+1)]²+2n²+2n+1=[n(n+1)]²+2n(n+1)+1=[n(n+1)+1]².