《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

6. 新考法 逆向思维法 已知：$a = 3^{31},b = 9^{21},c = 27^{11}$，试比较$a,b,c$的大小关系.

答案： 【解】
∵b = 9²¹, c = 27¹¹,
∴b = (3²)²¹ = 3⁴², c = (3³)¹¹ = 3³³.
∵31 ＜ 33 ＜ 42,
∴3³¹ ＜ 3³³ ＜ 3⁴²,
∴a ＜ c ＜ b.

7. 新考法 阅读类比法 阅读下列材料：
若$a^{3}=2,b^{5}=3$，比较$a,b$的大小.
解：$\because a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32$，
$b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27,32＞27$，
$\therefore a^{15}＞b^{15},\therefore a＞b$.
依照上述方法解答下列问题：
已知$x^{4}=4,y^{3}=3$，试比较$x$与$y$的大小.

答案： 【解】
∵x¹² = (x⁴)³ = 4³ = 64, y¹² = (y³)⁴ = 3⁴ = 81, 64 ＜ 81,
∴x¹² ＜ y¹²,
∴x ＜ y.

8. 试判断$2^{11}\times5^{7}$的结果是一个几位正整数.

答案： 【解】原式=2⁴×2⁷×5⁷ = 2⁴×(2×5)⁷ = 16×10⁷ = 160000000,
　故2¹¹×5⁷的结果是一个9位正整数.

9. 下面是3的正整数次幂的运算，$3^{1}=3,3^{2}=9$，$3^{3}=27,3^{4}=81,3^{5}=243,3^{6}=729,3^{7}=2187$，$3^{8}=6561,\cdots$. 观察归纳各计算结果中个位数字的规律，求$3^{2026}$的运算结果的个位数字.

答案： 【解】由3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243, 3⁶ = 729, 3⁷ = 2187, 3⁸ = 6561, …可知，等号右边个位数字依次以3, 9, 7, 1循环.
∵2026÷4 = 506……2,
∴3²⁰²⁶的运算结果的个位数字为9.

10. $5^{2}\times3^{2n + 1}\times2^{n}-3^{n}\times6^{n + 2}$（$n$为正整数）能被13整除吗？请说明理由.

答案： 【解】5²×3²ⁿ⁺¹×2ⁿ - 3ⁿ×6ⁿ⁺²能被13整除.理由如下:
　　5²×3²ⁿ⁺¹×2ⁿ - 3ⁿ×6ⁿ⁺²
　　= 5²×(3²ⁿ×3)×2ⁿ - 3ⁿ×(6ⁿ×6²)
　　= 75×18ⁿ - 36×18ⁿ
　　= 39×18ⁿ
　　= 13×3×18ⁿ.
　　因为n为正整数,
　所以3×18ⁿ是正整数.
　所以5²×3²ⁿ⁺¹×2ⁿ - 3ⁿ×6ⁿ⁺²能被13整除.