《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

10. [2024宜宾]某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝. 该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为 （ ）
A. 8箱
B. 9箱
C. 10箱
D. 11箱

答案： C [点拨]设可以装$x$箱大箱，$y$箱小箱，根据题意，得$4x + 3y = 32$，所以$x = 8-\frac{3}{4}y$。因为$x$，$y$均为正整数，所以$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2\\y = 8\end{cases}$。所以$x + y = 9$或 10。所以所装的箱数最多为 10 箱。故选 C。

11. 新考法 数形结合法 如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为$2a$，则小长方形的周长为________. [img id=1]

答案： $\frac{4a}{5}$ [点拨]设小长方形的长为$x$、宽为$y$，
由题意，得$\begin{cases}2x = x + 3y\\2x + x + y=\frac{2a}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{3a}{10}\\y=\frac{a}{10}\end{cases}$，
所以小长方形的周长为$2(\frac{3a}{10}+\frac{a}{10})=\frac{4a}{5}$。

12. 2024·徐州 新考向 数学文化 中国古代数学著作《张丘建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数. 甲得乙十钱，多乙余钱五倍. 乙得甲十钱，适等. 问甲、乙怀钱各几何?”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚. 若乙给甲10枚钱币，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱币，此时两人的钱币数相等. 问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题.

答案： [解]设甲有钱币$x$枚，乙有钱币$y$枚，由题意，得$\begin{cases}x + 10 = 6(y - 10)\\x - 10 = y + 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 38\\y = 18\end{cases}$。
答：甲原来有 38 枚钱币，乙原来有 18 枚钱币。

13. 已知$n$个数$x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$，它们每一个数只能取0，1， - 2这三个数中的一个，且满足$\begin{cases}x_1 + x_2+\cdots + x_n=-5,\\x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots + x_n^{2}=19,\end{cases}$则$x_1^{5}+x_2^{5}+\cdots + x_n^{5}$的值是________.

答案： - 125 [点拨]设各式中有$a$个 1 和$b$个 - 2，则原方程组可变为$\begin{cases}a - 2b = - 5\\a + 4b = 19\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = 4\end{cases}$。那么$x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+\cdots+x_{n}^{5}=( - 2)^{5}\times4 + 1^{5}\times3=-128 + 3=-125$。

14. 新考法 阅读类比法 阅读材料：
小荣同学在解方程组$\begin{cases}2x + 3y = 10,①\\-4x - 7y=-12②\end{cases}$时，采用了一种“整体代换”的方法.
解：将方程②变形为$-4x - 6y - y=-12$，
即$-2(2x + 3y)-y=-12$. ③
把①代入③，得$-2×10 - y=-12$，解得$y=-8$，
把$y = - 8$代入①，得$2x + 3×(-8)=10$，
解得$x = 17$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 17,\\y=-8.\end{cases}$
请你根据材料，解决以下问题：
(1)请模仿小荣同学的“整体代换”法解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5,\\9x - 4y = 19;\end{cases}$
(2)已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}3x^{2}-2xy + 12y^{2}=47,\\2x^{2}+xy + 8y^{2}=36,\end{cases}$求$x^{2}+4y^{2}$和$xy$的值.

答案： [解]
(1)$\begin{cases}3x - 2y = 5,①\\9x - 4y = 19,②\end{cases}$
将②变形为$3x + 6x - 4y = 19$，即$3x + 2(3x - 2y)=19$，③
把①代入③，得$3x + 2×5 = 19$，解得$x = 3$，
把$x = 3$代入①，得$3×3 - 2y = 5$，解得$y = 2$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$。
(2)$\begin{cases}3x^{2}-2xy + 12y^{2}=47,①\\2x^{2}+xy + 8y^{2}=36,②\end{cases}$
①+2×②，得$7x^{2}+28y^{2}=119$，即$x^{2}+4y^{2}=17$。
①×2 - ②×3，得$-7xy = - 14$，所以$xy = 2$。
所以$x^{2}+4y^{2}$的值为 17，$xy$的值为 2。