《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. 计算：$2m^{2}n(m - 3mn^{2}) =$ （ ）
A. $2m^{3}n - 6m^{3}n^{3}$
B. $2m^{3}n - 3m^{3}n^{3}$
C. $2mn^{2} - 6m^{3}n^{3}$
D. $2m^{2}n + 6m^{3}n^{3}$

答案： A

2. 新考法 数形结合法 如图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立 （ ）

A. $m(a + b + c) = ma + mb + mc$
B. $(a + b)m = (b + c)m$
C. $a(a + b + c) = a^{2} + ab + ac$
D. $ma + mb + mc = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

答案： A

3. 多项式$a^{2}(-a + b - c)$与$-a(a^{2} - ab + ac)$的关系是 （ ）
A. 相等
B. 互为相反数
C. 前式是后式的$-a$倍
D. 前式是后式的$a$倍

答案： A [点拨]
∵$a^{2}(-a + b - c)=-a^{3}+a^{2}b - a^{2}c$，$-a(a^{2}-ab + ac)=-a^{3}+a^{2}b - a^{2}c$，
∴两式相等. 故选A.

4. 若$2x(x - 3) = ax^{2} + bx$，则$a - b =$________.

答案： 8 [点拨]
∵$2x(x - 3)=ax^{2}+bx$，
∴$2x^{2}-6x=ax^{2}+bx$，
∴$a = 2$，$b=-6$，
∴$a - b=2 + 6 = 8$.

5. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，回到家，小丽拿出课堂笔记复习，突然发现一道题：$-3x^{2}(2x - \square + 1) = -6x^{3} + 3x^{2}y - 3x^{2}$，“$\square$”的地方被墨水污染了，则“$\square$”的位置应是________.

答案： $y$

6. 母题 教材P88例3 计算：
(1)$-2a^{2}(\frac{1}{2}ab - b^{2})$；
(2)$(-2a^{2}b)^{3}(3b^{2} - 4a + 6)$.

答案： [解]
(1)$-2a^{2}(\frac{1}{2}ab - b^{2})=-2a^{2}\cdot\frac{1}{2}ab + 2a^{2}\cdot b^{2}=-a^{3}b + 2a^{2}b^{2}$.
(2)$(-2a^{2}b)^{3}(3b^{2}-4a + 6)=-8a^{6}b^{3}\cdot(3b^{2}-4a + 6)=-24a^{6}b^{5}+32a^{7}b^{3}-48a^{6}b^{3}$.

7. 若$n$为自然数，那么式子$n(2n + 1) - 2n(n - 1)$能否被3整除？

答案： [解]原式$=2n^{2}+n - 2n^{2}+2n = 3n$，则式子$n(2n + 1)-2n(n - 1)$能被3整除.

8. 已知有理数$a$，$b$，$c$满足$|a - b - 3| + (b + 1)^{2} + |c - 1| = 0$，先化简，再求值：$(-3ab)\cdot(a^{2}c - 6b^{2}c)$.

答案： [解]$(-3ab)\cdot(a^{2}c - 6b^{2}c)=-3a^{3}bc + 18ab^{3}c$.
由$|a - b - 3|+(b + 1)^{2}+|c - 1| = 0$，得
$\begin{cases}a - b - 3 = 0,\\b + 1 = 0,\\c - 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b=-1,\\c = 1.\end{cases}$
∴原式$=-3\times2^{3}\times(-1)\times1 + 18\times2\times(-1)^{3}\times1 = 24 - 36=-12$.

9. 已知$(x^{6 - m} + y^{m + 3})\cdot x^{n} = x^{4} + x^{2}y^{7}$，则$m + n$的值是 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： D

10. [2024保定期末] 要使$-x^{3}(x^{2} + ax + 1) + 2x^{4}$中不含有$x$的四次项，则$a$等于 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B [点拨]原式$=-x^{5}-ax^{4}-x^{3}+2x^{4}=-x^{5}+(2 - a)x^{4}-x^{3}$.
∵$-x^{3}(x^{2}+ax + 1)+2x^{4}$中不含有$x$的四次项，
∴$2 - a = 0$，解得$a = 2$. 故选B.

11. 某同学在计算一个多项式乘$4x^{2}$时，因抄错运算符号，算成了加上$4x^{2}$，得到的结果是$3x^{2} + 2x - 1$，那么正确的计算结果是 （ ）
A. $-4x^{4} + 8x^{3} - 4x^{2}$
B. $4x^{4} + 8x^{3} - 4x^{2}$
C. $-4x^{4} + x^{3} - 4x^{2}$
D. $4x^{4} - 8x^{3} - 4x^{2}$

答案： A [点拨]设这个多项式为$M$，
∵计算一个多项式乘$4x^{2}$时，因抄错运算符号，算成了加上$4x^{2}$，得到的结果是$3x^{2}+2x - 1$，
∴$M + 4x^{2}=3x^{2}+2x - 1$，
∴$M = 3x^{2}+2x - 1 - 4x^{2}=-x^{2}+2x - 1$，
∴正确的结果为$(-x^{2}+2x - 1)\cdot4x^{2}=-4x^{4}+8x^{3}-4x^{2}$，故选A.

12. $(-2x^{2})^{3}(x^{2} + x^{2}y^{2} + y^{2})$的结果中次数是10的项的系数是________.

答案： -8 [点拨]$(-2x^{2})^{3}(x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2})=-8x^{6}(x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2})=-8x^{8}-8x^{8}y^{2}-8x^{6}y^{2}$，所以次数是10的项是$-8x^{8}y^{2}$，其系数是 -8.

13. 新考法 新定义计算法 定义：$\begin{array}{|c|}a\\b\ \ c\end{array}$表示$3abc$，$\begin{array}{|cc|}x&w\\y&z\end{array}$表示$xz + wy$，则$\begin{array}{|c|}m\\n\ \ 3\end{array}\times\begin{array}{|cc|}4&n\\5&2m\end{array}$的结果为________.

答案： $72m^{2}n + 45mn^{2}$