《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

14. (10分)[2024唐山期末] 已知代数式：$b(a - 4b)-(a + 2b)(a - 2b)$.
(1)化简这个代数式；
(2)若$a^{2}-2ab + b^{2}=0$，求原代数式的值.

答案： [解]
(1)b(a−4b)−(a+2b)(a−2b)=ab−4b²−(a²−4b²)=ab−4b²−a²+4b²=ab−a².
(2)
∵a²−2ab+b²=0,
∴(a−b)²=0,即a=b.
∴原式=a²−a²=0.

15. (12分) 新考法 猜想验证法 观察算式，解答下列问题：
第1个式子：$13×17 = 221 = 1×2×100 + 21$
第2个式子：$23×27 = 621 = 2×3×100 + 21$，
第3个式子：$33×37 = 1221 =$ _________.
(1)观察算式规律，补全第3个式子；
(2)写出第$n$个式子，并利用所学知识验证你的结论；
(3)利用发现的规律，直接写出第11个式子.

答案： [解]
(1)3×4×100+21
(2)由
(1)可得(10n+3)(10n+7)=100n²+100n+21=
　100n(n+1)+21.验证如下:
　(10n+3)(10n+7)=100n²+70n+30n+21=100n²+100n+21=100n(n+1)+21.
(3)113×117=13221=100×11×12+21.

16. (18分) 新考法 数形结合法 图①是一个长为$2m$，宽为$2n$的长方形，沿图中虚线剪开，然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)图②中阴影部分的面积为 ____________.
(2)观察图②，三个代数式$(m + n)^{2}$，$(m - n)^{2}$，$mn$之间的等量关系是 ____________.
(3)若$x + y = -6$，$xy = 2.75$，求$x - y$的值.
(4)观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？
(5)画一画：试画出一个几何图形，使它的面积能表示$(a + b)(a + 3b)=a^{2}+4ab + 3b^{2}$.

答案：
[解]
(1)(m−n)²
(2)(m+n)²−4mn=(m−n)²
(3)
∵x+y=−6,xy=2.75,
∴(x−y)²=(x+y)²−4.xy=(−6)²−4×2.75=25.
∴x−y=±5.
(4)由图形的面积相等可得(2m+n)(m+n)=2m²+3mn+n².
(5)由(a+b)(a+3b)=a²+4ab+36²可知,所画长方形的两个相邻边长为α+b和α+3b,里边
　的小图形有八个，一个面积为a²,4
　　　　　　　　　　　　　　　　 个面积为ab,3个面积为b2.
　画图如图(答案不唯一).