《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

11. 母题 教材P43做一做 如图，在三角形ABC所在平面内画一条直线，使得与∠C成同旁内角的角有3个. 若与∠C成同旁内角的角有4个，则该怎样画这条直线?

答案：
[解]如图①，与∠C成同旁内角的角有3个，分别为∠CED，∠B，∠A. 如图②，与∠C成同旁内角的角有4个，分别为∠CFG，∠B，∠CGF，∠A.
　　　　　 　　

12. [2024·沧州月考] 如图，把一根筷子的一端放在水里，另一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变.
（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？
（2）若∠1 = 115°，测得∠BOM = 145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？

答案： [解]
(1)与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE. 与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE.
(2)因为AB//CD，所以∠BOE = ∠1 = 115°. 因为∠BOM = 145°，所以∠MOE = ∠BOM - ∠BOE = 145° - 115° = 30°. 所以水下部分向上折弯了30°.

13. [新视角 新定义型题] 如图①，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β = ∠α + 30°，则称∠β是∠α的关联角.
（1）已知∠β是∠α的关联角.
①当∠α = 50°时，∠β = _________°；
②当2∠α - ∠β = 45°时，求∠α，∠β的度数.
（2）如图②，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点.
①请说明∠DHG是∠BGH的关联角；
②过点O的直线MN分别交直线CD，AB于点P，Q，且∠CHG = 80°. 当∠EOP是图中某个角的关联角时，请直接写出所有符合条件的∠EOP的度数.

答案：
[解]
(1)①80 ②由题意可得方程组$\begin{cases}\angle\beta=\angle\alpha + 30^{\circ}\\2\angle\alpha-\angle\beta = 45^{\circ}\end{cases}$，解得$\begin{cases}\angle\alpha = 75^{\circ}\\\angle\beta = 105^{\circ}\end{cases}$.
(2)①因为∠AGH是∠CHG的关联角，所以∠AGH = ∠CHG + 30°. 因为∠DHG = 180° - ∠CHG，∠BGH = 180° - ∠AGH，所以∠DHG - ∠BGH = 180° - ∠CHG - (180° - ∠AGH)=∠AGH - ∠CHG = 30°. 所以∠DHG = ∠BGH + 30°. 所以∠DHG是∠BGH的关联角. ②∠EOP的度数为140°或145°或155°. [点拨]因为∠AGH是∠CHG的关联角，∠CHG = 80°，所以∠AGH = ∠CHG + 30° = 80° + 30° = 110°. 当直线MN位于如图①所示位置时，若∠EOP是∠AGO的关联角，则∠EOP = ∠AGO + 30° = 110° + 30° = 140°；若∠EOP是∠CPO的关联角，则∠EOP = ∠CPO + 30°. 因为∠CPO = 180° - ∠OPH = ∠CHG + ∠HOP = 80° + (180° - ∠EOP)=260° - ∠EOP，所以∠EOP = 260° - ∠EOP + 30°. 所以∠EOP = 145°. 当直线MN位于如图②所示位置时，因为∠AGH = 110°，∠CHG = 80°，所以∠BGH = 180° - ∠AGH = 180° - 110° = 70°，∠GHD = 180° - ∠CHG = 180° - 80° = 100°. 若∠EOP是∠BGO的关联角，则∠EOP = ∠BGO + 30° = 70° + 30° = 100°. 因为∠EOP = 180° - ∠HOP = ∠GHD + ∠OPH = 100° + ∠OPH＞100°，所以∠EOP = 100°(舍去). 若∠EOP是∠DPO的关联角，则∠EOP = ∠DPO + 30°. 因为∠DPO = 180° - ∠OPH = ∠GHP + ∠HOP = 100° + (180° - ∠EOP)=280° - ∠EOP，所以∠EOP = 280° - ∠EOP + 30°. 所以∠EOP = 155°. 综上，∠EOP的度数为140°或145°或155°.