《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

1. [母题 教材P108复习题T13] 已知$a - b = 6$，$ab = - 7$.
求：
(1)$a^{2}+b^{2}$的值；
(2)$(a + b)^{2}+2(a - b)^{2}$的值.

答案： 【解】
(1)
∵a - b = 6，ab = - 7，
∴a²+b²=(a - b)²+2ab = 6²+2×(-7)=22.
(2)
∵(a + b)²=(a - b)²+4ab，a - b = 6，ab = - 7，
∴(a + b)²=6²+4×(-7)=8.
∴(a + b)²+2(a - b)²=8 + 2×6²=80.

2. [母题 教材P108复习题T17] 计算：
(1)$51\times49$；
(2)$2027^{2}-2025\times2029$.

答案： 【解】
(1)原式=(50 + 1)×(50 - 1)=50²-1²=2500 - 1 = 2499.
(2)原式=2027²-(2027 - 2)×(2027 + 2)=2027²-(2027²-2²)=2027²-2027²+2²=4.

3. [母题 教材P108复习题T19] $2^{66}-1$可以被60至70之间的哪两个整数整除？

答案： 【解】2⁹⁶-1=(2⁴⁸)²-1=(2⁴⁸-1)(2⁴⁸+1)
　=(2⁴⁸+1)(2²⁴+1)(2²⁴-1)
　=(2⁴⁸+1)(2²⁴+1)(2¹²+1)(2¹²-1)
　=(2⁴⁸+1)(2²⁴+1)(2¹²+1)(2⁶+1)(2⁶-1)
　=(2⁴⁸+1)(2²⁴+1)(2¹²+1)×65×63，
∴2⁹⁶-1可以被65和63整除.

4. 如图①，从边长为$a$的大正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形.
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；
(2)请应用这个公式完成下列各题.
①$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)\cdots(2^{32}+1)+1$的结果是________；
②计算：$(2a + b - c)(2a + b + c)$；
③计算：$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\cdots+4^{2}-3^{2}+2^{2}-1$.

答案： 【解】
(1)a²-b²=(a + b)(a - b)
(2)①2⁶⁴【点拨】(2 + 1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)…(2³²+1)+1
　=(2 - 1)(2 + 1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)…(2³²+1)+1
　=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)…(2³²+1)+1
　=(2³²-1)(2³²+1)+1
　=2⁶⁴-1 + 1
　=2⁶⁴.
　②(2a + b - c)(2a + b + c)
　=[(2a + b)-c][(2a + b)+c]
　=(2a + b)²-c²
　=4a²+4ab + b²-c².
　③100²-99²+98²-97²+…+4²-3²+2²-1
　=(100 + 99)(100 - 99)+(98 + 97)(98 - 97)+…+(4 + 3)(4 - 3)+(2 + 1)(2 - 1)
　=100 + 99+…+2 + 1
　=$\frac{1 + 100}{2}$×100
　=5050.

5. 计算：$\frac{20272026^{2}}{20272025^{2}[phone]^{2}-2}$.

答案： 【解】设20272026 = m，则原式=$\frac{m^{2}}{(m - 1)^{2}+(m + 1)^{2}-2}=\frac{m^{2}}{(m^{2}-2m + 1)+(m^{2}+2m + 1)-2}=\frac{m^{2}}{2m^{2}}=\frac{1}{2}$.