《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

15. (12分)在幂的运算中规定：若$a^{x}=a^{y}(a\gt0$且$a\neq1$，$x$，$y$是正整数)，则$x = y$. 利用上面结论解答下列问题：
(1)若$9^{x}=3^{6}$，求$x$的值；
(2)若$3^{x + 2}-3^{x + 1}=18$，求$x$的值.

答案：
(1)
∵$9^{x}=3^{6}$，
∴$(3^{2})^{x}=3^{6}$，
∴$3^{2x}=3^{6}$，
∴$2x = 6$，解得$x = 3$.
(2)
∵$3^{x + 2}-3^{x + 1}=18$，
∴$3^{x + 1}×3 - 3^{x + 1}=18$.
∴$2×3^{x + 1}=2×3^{2}$，
∴$x + 1 = 2$，解得$x = 1$.

16. (12分) 新考法 阅读类比法 阅读下列材料：
若$a^{3}=2$，$b^{4}=3$，且$a\gt0$，$b\gt0$，比较$a$，$b$的大小.
解：$\because a^{12}=(a^{3})^{4}=2^{4}=16$，
$b^{12}=(b^{4})^{3}=3^{3}=27$，$16\lt27$，
$\therefore a^{12}\lt b^{12}$. $\because a\gt0$，$b\gt0$，
$\therefore a\lt b$.
依照上述方法解答下列问题：
(1)已知$x^{7}=2$，$y^{9}=3$，试比较$x$与$y$的大小；
(2)已知$a^{2}=5$，$b^{3}=12$，且$a\gt0$，$b\gt0$，试比较$a$，$b$的大小.

答案：
(1)
∵$x^{63}=(x^{7})^{9}=2^{9}=512$，$y^{63}=(y^{9})^{7}=3^{7}=2187$，$512\lt2187$，
∴$x^{63}\lt y^{63}$，
∴$x\lt y$.
(2)
∵$a^{6}=(a^{2})^{3}=5^{3}=125$，$b^{6}=(b^{3})^{2}=12^{2}=144$，$125\lt144$，
∴$a^{6}\lt b^{6}$.
∵$a\gt0$，$b\gt0$，
∴$a\lt b$.

17. (16分) 新视角 新定义型题 规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作$(a,b)$，如果$a^{m}=b$，则$(a,b)=m$. 我们叫$(a,b)$为“雅对”. 例如：因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$. 我们还可以利用“雅对”的定义说明等式$(3,3)+(3,5)=(3,15)$成立：
设$(3,3)=m$，$(3,5)=n$，则$3^{m}=3$，$3^{n}=5$，
所以$3^{m + n}=3^{m}\cdot3^{n}=3×5 = 15$，
所以$(3,15)=m + n$，
即$(3,3)+(3,5)=(3,15)$.
(1)填空：$(5,125)=$________；$(________,16)=4$；
(2)计算：$(5,2)+(5,7)=$________，并说明理由；
(3)利用“雅对”的定义说明：$(2^{n},3^{n})=(2,3)$，对于任意非0整数$n$都成立.

答案：
(1)$3$；$\pm2$
(2)$(5,14)$
理由：设$(5,2)=m$，$(5,7)=n$，则$5^{m}=2$，$5^{n}=7$，
∴$5^{m + n}=5^{m}\cdot5^{n}=2×7 = 14$.
∴$(5,14)=m + n$，即$(5,2)+(5,7)=(5,14)$.
(3)设$(2^{n},3^{n})=a$，$(2,3)=b$，
∴$(2^{n})^{a}=3^{n}$，$2^{b}=3$，
∴$(2^{n})^{a}=(2^{b})^{n}$，即$2^{an}=2^{bn}$，
∴$an = bn$.
∵$n\neq0$，
∴$a = b$，即$(2^{n},3^{n})=(2,3)$，对于任意非0整数$n$都成立.