《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

13.(8分)小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”：
第一步将三角板ABC的AC边延长至点P且使AC固定，第二步将另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合，摆放成如图所示的方式，延长DC至点F，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角.
已知∠1 = 30°，∠ACF为多少？

答案： 【解】因为∠ACB = 90°，∠1 = 30°，所以∠PCD = 180° - 90° - 30° = 60°. 因为∠PCD = ∠ACF，所以∠ACF = 60°.

14.(10分)新视角 动手操作题 两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠3是∠2的内错角.
(1)画出示意图；
(2)若∠1 = 3∠2，∠2 = 3∠3，求∠1，∠2的度数.

答案：
【解】
(1)如图所示(示意图不唯一).
　　　　　　　　　　
(2)设∠2 = x°. 因为∠1 = 3∠2，∠2 = 3∠3，
所以∠1 = 3x°，∠3 = $\frac{1}{3}$x°.
因为∠1 + ∠3 = 180°，所以3x + $\frac{1}{3}$x = 180，解得x = 54.
所以∠2 = 54°，∠1 = 54°×3 = 162°.

15.(12分)如图，已知直线AB与CD交于点O，EO⊥AB，且∠DOE = 2∠BOD.
(1)求∠COE的度数；
(2)过点O在AB上方作射线OF，若∠COF = 4∠BOF，求∠DOF的度数.

答案： 【解】
(1)因为EO⊥AB，所以∠BOE = 90°.
所以∠BOD + ∠DOE = 90°.
因为∠DOE = 2∠BOD，所以3∠BOD = 90°.
所以∠BOD = 30°. 所以∠DOE = 60°.
所以∠COE = 180° - ∠DOE = 120°.
(2)因为∠BOD = 30°，
所以∠COF + ∠BOF = 180° - ∠BOD = 150°，
因为∠COF = 4∠BOF，
所以5∠BOF = 150°. 所以∠BOF = 30°.
所以∠DOF = ∠BOD + ∠BOF = 60°.

16.(14分)[2024沧州校级月考] 已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O在AB上方作OE⊥AB.
(1)如图①，OP为∠AOD内的一条射线，当∠1与∠2满足什么条件时，OP⊥CD？请说明理由.
(2)如图②，若∠AOC = $\frac{1}{2}$∠BOC，求∠COE的度数.
(3)如图③，在(2)的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，若射线OM平分∠BOD，请直接写出图中与2∠EOF度数相等的角.

答案： 【解】
(1)当∠1 = ∠2时，OP⊥CD. 理由如下：
因为OE⊥AB，所以∠AOE = 90°，即∠AOC + ∠1 = 90°.
因为∠1 = ∠2，所以∠AOC + ∠2 = 90°，即∠POC = 90°.
所以OP⊥CD.
(2)因为∠AOC + ∠BOC = 180°，且∠AOC = $\frac{1}{2}$∠BOC，即∠BOC = 2∠AOC，
所以∠AOC + 2∠AOC = 180°. 所以∠AOC = 60°.
因为OE⊥AB，所以∠AOE = 90°.
所以∠COE = 90° - 60° = 30°.
(3)∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM.
【点拨】由
(2)知∠AOC = 60°. 因为射线OM平分∠BOD，∠AOC = ∠BOD，所以∠BOM = ∠DOM = ∠AON = ∠CON = 30°. 因为OE⊥AB，OF⊥CD，所以∠AOE = ∠BOE = ∠COF = 90°. 所以∠AOC = ∠EOF = 60°. 所以∠AOD = ∠BOC = ∠FON = ∠EOM = 90° + 30° = 120° = 2∠EOF，所以与2∠EOF度数相等的角是∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM.