《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

12. 新考法 整体代入法 已知$x^{2}-x - 1 = 0$，则$x^{2025}-x^{2024}-x^{2023}+x^{2022}-x^{2021}-x^{2020}+\cdots + x^{3}-x^{2}-x$的值是 （ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2

答案： A 【点拨】$\because x^{2}-x - 1 = 0$，$\therefore x^{2025}-x^{2024}-x^{2023}+x^{2022}-x^{2021}-x^{2020}+\cdots+x^{3}-x^{2}-x=(x^{2025}-x^{2024}-x^{2023})+(x^{2022}-x^{2021}-x^{2020})+\cdots+(x^{3}-x^{2}-x)=x^{2023}(x^{2}-x - 1)+x^{2020}(x^{2}-x - 1)+\cdots+x(x^{2}-x - 1)=0 + 0+\cdots+0 = 0$。

13. 对于任意的有理数 a，b，c，d，我们规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，如$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times4 - 2\times3 = -2$，则$\begin{vmatrix}a + c&(b - a)^{2}\\a - c&(a - b)^{2}\end{vmatrix}$的值为_______.

答案： $2c(a - b)^{2}$ 【点拨】$\because\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，
$\therefore\begin{vmatrix}a + c&(b - a)^{2}\\a - c&(a - b)^{2}\end{vmatrix}=(a + c)(a - b)^{2}-(b - a)^{2}(a - c)=(a - b)^{2}(a + c - a + c)=2c(a - b)^{2}$。

14. 已知 a，b，c 是正整数，$a ＜ c$，且$a^{2}-ab - ac + bc = 11$，则$a - b$等于_______.

答案： - 1 或 - 11 【点拨】$\because a^{2}-ab - ac + bc = 11$，$\therefore(a^{2}-ab)-(ac - bc)=11$。$\therefore a(a - b)-c(a - b)=11$。$\therefore(a - b)(a - c)=11$。$\because a$，$b$，$c$是正整数，$a\lt c$，$\therefore\begin{cases}a - b = - 1\\a - c = - 11\end{cases}$或$\begin{cases}a - b = - 11\\a - c = - 1\end{cases}$。$\therefore a - b = - 1$或 - 11。

15. 已知$(2x - 21)(3x - 7) - (3x - 7)(x - 13)$可分解因式为$(3x + a)(x + b)$，其中 a，b 均为整数，则$a + 3b$等于多少?

答案： 【解】$(2x - 21)(3x - 7)-(3x - 7)(x - 13)=(3x - 7)(2x - 21 - x + 13)=(3x - 7)(x - 8)$。
由题意得$a = - 7$，$b = - 8$，
$\therefore a + 3b = - 7+3\times(-8)=-31$。

16. 已知 a，b，c 为三角形 ABC 的三边长，且$a^{3}-a^{2}b + 5ac - 5bc = 0$，试判断三角形 ABC 的形状.

答案： 【解】因为$a^{3}-a^{2}b + 5ac - 5bc = 0$，
所以$a^{2}(a - b)+5c(a - b)=0$。
所以$(a - b)(a^{2}+5c)=0$。
因为$a$，$b$，$c$为三角形$ABC$的三边长，
所以$a^{2}+5c\neq0$。所以$a - b = 0$。
所以$a = b$。所以三角形$ABC$是等腰三角形。

17. 新考法 连续分组法 先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2}$
$=(1 + x)[1 + x + x(x + 1)]$
$=(1 + x)^{2}(1 + x)$
$=(1 + x)^{3}$.
(1)上述分解因式的方法是___________，共应用了______次；
(2)若分解因式$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2}+\cdots + x(x + 1)^{2025}$，则需应用上述方法______次，结果是__________；
(3)分解因式：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2}+\cdots + x(x + 1)^{n}$（n 为正整数）.

答案： 【解】
(1)提公因式法；2
(2)2025；$(1 + x)^{2026}$
(3)原式$=(1 + x)[1 + x + x(x + 1)+\cdots+x(x + 1)^{n - 1}]=(1 + x)^{2}[1 + x + x(x + 1)+\cdots+x(x + 1)^{n - 2}]=\cdots=(1 + x)^{n}(1 + x)=(1 + x)^{n + 1}$。

18. [2024 石家庄模拟] 每个人都拥有一个快乐数，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数. 比如我国著名的数学家华罗庚出生于 1910 年，他的快乐数是$1910-(1 + 9 + 1 + 0)=1899$.
(1)某人出生于 1949 年，他的快乐数是________；
(2)快乐数都能被______整除，请你用所学知识说明你的猜想；
(3)请你重新定义快乐数，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用证明）.

答案： 【解】
(1)1926
(2)9
设出生年份为$1000a + 100b + 10c + d(a\neq0)$，
$\therefore$快乐数为$1000a + 100b + 10c + d-(a + b + c + d)=1000a + 100b + 10c + d - a - b - c - d=999a + 99b + 9c=9(111a + 11b + c)$。
$\therefore$快乐数都能被 9 整除。$\therefore$猜想正确。
(3)定义：若一个四位数的千位数字与十位数字相等，个位数字与百位数字相等，则称这个数为快乐数. 发现的规律是：快乐数能被 101 整除.（答案不唯一）
【点拨】令这个快乐数为$1000m + 100n + 10m + n(m\neq0)$，$\therefore1000m + 100n + 10m + n = 1010m + 101n = 101(10m + n)$。$\therefore$快乐数是 101 的倍数。