《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

6. [新考法 猜想验证法] 在“趣味数学”的社团活动课上，小白同学给大家分享了一个自己发现的关于8的倍数和最近学习的平方差公式之间的有趣关系. 小白同学的具体探究过程如下，请你根据小白同学的探究思路，解决下面的问题：
(1)观察下列各式并填空：$8\times1 = 3^{2}-1^{2}$，$8\times2 = 5^{2}-3^{2}$，$8\times3 = 7^{2}-5^{2}$，$8\times4 = 9^{2}-7^{2}$，$8\times5 =$________$-9^{2}$，$8\times$________$=13^{2}-11^{2}$，$\cdots$；
(2)通过观察、归纳，请你用含字母$n$（$n$为正整数）的等式表示(1)中各式所反映的规律；
(3)请验证(2)中你所写的规律.

答案： 【解】
(1)11²；6
(2)通过观察、归纳，可得8n=(2n + 1)²-(2n - 1)².
(3)(2n + 1)²-(2n - 1)²=[(2n + 1)+(2n - 1)][(2n + 1)-(2n - 1)]=8n.

7. 某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多. 做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排$(3a - b)$人，站有$(3a + 2b)$排；小学部站的方阵，排数和每排人数都是$2(a + b)$. 试求该学校初中部比小学部多多少名学生.

答案： 【解】该学校初中部学生人数为(3a - b)(3a + 2b)=9a²+3ab - 2b²，
　小学部学生人数为2(a + b)×2(a + b)=4(a + b)²=4×(a²+2ab + b²)=4a²+8ab + 4b²，
该学校初中部比小学部多的学生数=9a²+3ab - 2b²-(4a²+8ab + 4b²)=5a²-5ab - 6b².
　答：该学校初中部比小学部多(5a²-5ab - 6b²)名学生.

8. 在学习乘法公式$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab + b^{2}$的运用时，我们常用配方法求最值.
例如：求代数式$x^{2}+4x + 5$的最小值，总结出如下解答方法：
解：$x^{2}+4x + 5=x^{2}+4x + 4 + 1=(x + 2)^{2}+1$.
$\because(x + 2)^{2}\geq0$，
$\therefore$当$x = - 2$时，$(x + 2)^{2}$的值最小，最小值是0.
$\therefore(x + 2)^{2}+1\geq1$.
$\therefore$当$(x + 2)^{2}=0$时，$(x + 2)^{2}+1$的值最小，最小值是1.
$\therefore x^{2}+4x + 5$的最小值是1.
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)若$y = x^{2}+2x - 3$，当$x =$________时，$y$有最________值（填“大”或“小”）是________；
(2)已知$a$，$b$，$c$是三角形$ABC$的三边长，满足$a^{2}+b^{2}=12a + 8b - 52$，且$c$的值为代数式$-2x^{2}+6x + 5$的最大值，求该三角形的周长；
(3)已知$-x^{2}+4x + y - 20 = 0$，求$2x + y$的最小值.

答案： 【解】
(1)-1；小；-4【点拨】y=x²+2x - 3=x²+2x + 1 - 4=(x + 1)²-4.
∵(x + 1)²≥0，
∴当x = - 1时，(x + 1)²的值最小，最小值是0.
∴(x + 1)²-4≥ - 4.
∴当(x + 1)²=0时，(x + 1)²-4的值最小，最小值是-4.
∴当x = - 1时，y有最小值，最小值是-4.
(2)
∵a²+b²=12a + 8b - 52，
∴(a²-12a + 36)+(b²-8b + 16)=0.
∴(a - 6)²+(b - 4)²=0.
∴a - 6 = 0，b - 4 = 0.
∴a = 6，b = 4.
∵-2x²+6x + 5=-2(x-$\frac{3}{2}$)²+$\frac{19}{2}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，代数式-2x²+6x + 5有最大值，最大值是$\frac{19}{2}$.
∴c=$\frac{19}{2}$.此时该三角形的周长是6 + 4+$\frac{19}{2}$=19.5.
(3)
∵-x²+4x + y - 20 = 0，
∴y=x²-4x + 20.
∴2x + y=2x + x²-4x + 20=x²-2x + 20=(x - 1)²+19.
∴当x = 1时，2x + y的最小值为19.