《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

10. 如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形.
(1) 以AB为一边可以画出______个三角形，请在图①中画出图形；
(2) 以C为顶点可以画出______个三角形，请在图②中画出图形.

答案：
【解】
(1)3
画出的△ABC，△ABD，△ABE如图①所示.

(2)6
画出的△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE如图②所示.

11. 已知a，b，c为三角形的三边长，化简：|b + c - a| + |b - c - a| - |c - a - b| - |a - b + c|.

答案： 【解】
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a + b ＞ c，a + c ＞ b，b + c ＞ a.
∴原式=|(b + c) - a| + |b - (c + a)| - |c - (a + b)| - |(a + c) - b| = b + c - a + a + c - b - a - b + c + b - a - c = 2c - 2a.

12. 新考法 分类讨论法 已知a，b，c为△ABC的三边长，且b，c满足(b - 5)² + |c - 7| = 0，a为方程|a - 3| = 2的解，求△ABC的周长.

答案： 【解】
∵(b - 5)² + |c - 7| = 0，
∴$\begin{cases}b - 5 = 0 \\ c - 7 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 5 \\ c = 7\end{cases}$.
∵a为方程|a - 3| = 2的解，
∴a = 5或1.
当a = 1，b = 5，c = 7时，1 + 5 ＜ 7，
不能组成三角形，故a = 1不符合题意；
当a = 5，b = 5，c = 7时，符合三角形的三边关系.
∴△ABC的周长 = 5 + 5 + 7 = 17.

13. [2024廊坊校级月考] 某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如表所示. 学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买了两根长度分别为2 m和5 m的钢管，还需要购买一根.

(1) 有哪几种规格的钢管可供选择？
(2) 若要求制成的三角形支架的周长为偶数，则制成一个三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？

答案： 【解】
(1)设第三根钢管的长度为x m，
则5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2，即3 ＜ x ＜ 7，
∴长度为4 m，5 m，6 m的钢管可供选择.
(2)
∵三角形支架的周长为偶数，
∴三边长分别为2 m、5 m、5 m，
∴15×1 + 30×2 = 75(元).
答：制成一个三角形支架一共需要花75元购买钢管.

14. 新考法 从特殊到一般的思想 (1) 如图①，图中共有三角形______个；如图②，若增加一条线，则图中共有三角形______个；
(2) 如图③，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数.

答案： 【解】
(1)10；24
(2)增加1条线，三角形的个数为10 + 10×1 + 4×1；
增加2条线，三角形的个数为10 + 10×2 + 4×(2 + 1)；
增加3条线，三角形的个数为10 + 10×3 + 4×(3 + 2 + 1)；
…
则增加n条线，三角形的个数为10 + 10×n + 4×(n + n - 1 + n - 2 + … + 1).
所以增加10条线，三角形的个数为10 + 10×10 + 4×(10 + 9 + 8 + … + 1) = 330.