《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册冀教版》

14. 新考法 新定义计算法 如果$x^{n}=y$，那么我们规定$(x,y)=n$. 例如：因为$3^{2}=9$，所以$(3,9)=2$.
根据上述规定填空：
(1)$(2,8)=$_______；
(2)若$(m,16)=a$，$(m,5)=b$，$(m,t)=c$. 且满足$a - b = c$，则$t=$_______.

答案：
(1)3
(2)$\frac{16}{5}$
【点拨】
(1)
∵2³ = 8，
∴(2,8) = 3.
(2)
∵(m,16) = a，(m,5) = b，(m,t) = c，
∴mᵃ = 16，mᵇ = 5，mᶜ = t.
∵a - b = c，
∴mᵃ÷mᵇ = mᵃ⁻ᵇ = mᶜ.
∴t = $\frac{16}{5}$.

15. 在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：当$a^{n}=1$（$n$为整数）成立时，$a$，$n$要满足的条件. 请解答下列问题：
(1)经过讨论，小郑同学总结了三种使$a^{n}=1$（$n$为整数）成立的情形，请帮小郑同学补充完整：
①$\begin{cases}a\neq0\\n = 0\end{cases}$；②$\begin{cases}a=-1\\n为偶数\end{cases}$；③$a=$_______.
(2)若$(2x - 1)^{x + 2}-1 = 0$，求$x$的值.

答案： 【解】
(1)1
(2)当 2x - 1 = 1 时，x = 1；
当 2x - 1 = -1 时，x = 0，
此时指数 x + 2 = 2 为偶数，故 x = 0 符合题意；
当 x + 2 = 0 时，x = -2，
此时 2x - 1 = -5≠0，故 x = -2 符合题意.
综上所述，x = 1 或 0 或 -2.

16. 按要求完成下列各小题.
(1)若$m - n = 1$，求$3^{m}\times9^{n}\div27^{m}$的值；
(2)若$x^{m}\cdot x^{2n + 1}=x^{11}$，$y^{m - 1}\div y^{n}=y^{6}$，求$2m + n$的值.

答案： 【解】
(1)原式 = 3ᵐ×3²ⁿ÷3³ᵐ = 3ᵐ⁺²ⁿ⁻³ᵐ = 3²ⁿ⁻²ᵐ = 3⁻²(ᵐ⁻ⁿ).
∵m - n = 1，
∴原式 = 3⁻²×1 = 3⁻² = $\frac{1}{9}$.
(2)
∵xᵐ·x²ⁿ⁺¹ = x¹¹，yᵐ⁻¹÷yⁿ = y⁶，
∴xᵐ⁺²ⁿ⁺¹ = x¹¹，yᵐ⁻¹⁻ⁿ = y⁶.
∴$\begin{cases}m + 2n + 1 = 11,①\\m - 1 - n = 6,②\end{cases}$
① + ②，得 2m + n = 17.

17. 新考法 阅读类比法 认真阅读下面材料：
例如：已知$3^{n}=59049$，求$3^{n - 2}$的值.
解：$\because3^{n}=59049$，
$\therefore3^{n - 2}=3^{n}\div3^{2}=59049\div9 = 6561$.
回答问题：
(1)若$9^{n}=729$，求$3^{2n - 2}$的值；
(2)若$3^{x}=27$，求$3^{2x + 3}$的值.

答案： 【解】
(1)
∵9ⁿ = 729，
∴3²ⁿ = 729，
∴3²ⁿ⁻² = 3²ⁿ÷3² = 729÷9 = 81.
(2)
∵3ˣ = 27，
∴3²ˣ⁺³ = (3ˣ)²×3³ = 27²×27 = 19 683.

18. 新考法 新定义计算法 探究应用：用“∪”“∩”定义两种新运算：对于两个数$a$，$b$，规定$a\cup b = 10^{a}\times10^{b}$，$a\cap b = 10^{a}\div10^{b}$. 例如：$3\cup2 = 10^{3}\times10^{2}=10^{5}$，$3\cap2 = 10^{3}\div10^{2}=10$.
(1)求$1040\cup984$的值；
(2)求$2024\cap2025$的值；
(3)当$x$为何值时，$x\cup5$的值与$23\cap17$的值相等.

答案： 【解】
(1)由题意得 1 040∪984 = 10¹⁰⁴⁰×10⁹⁸⁴ = 10¹⁰⁴⁰⁺⁹⁸⁴ = 10²⁰²⁴.
(2)由题意得 2 024∩2 025 = 10²⁰²⁴÷10²⁰²⁵ = 10²⁰²⁴⁻²⁰²⁵ = 10⁻¹ = $\frac{1}{10}$.
(3)由题意得 x∪5 = 10ˣ×10⁵ = 10ˣ⁺⁵，23∩17 = 10²³÷10¹⁷ = 10⁶.
∵x∪5 的值与 23∩17 的值相等，
∴10ˣ⁺⁵ = 10⁶，
∴x + 5 = 6，
∴x = 1，
∴当 x = 1 时，x∪5 的值与 23∩17 的值相等.