《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

8. 新课标 跨学科试题 如图是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素,从中随机选取两种元素,则这两种元素恰好都是金属元素的概率为(注:锂、铍为金属元素)
(C)

A.$\frac{1}{20}$
B.$\frac{2}{25}$
C.$\frac{1}{10}$
D.$\frac{2}{5}$

答案：
8 C 由化学知识可知，氢和硼是非金属元素，锂和铍是金属元素，氦是稀有气体元素.根据题意，画树状图如下:
由树状图可知,共有20种等可能的结果，其中这两种元素恰好都是金属元素的结果有2种,故所求概率为$\frac{2}{20}$=$\frac{1}{10}$.

9.如图,已知矩形ABCD中,点P是矩形内部一点,且$∠APD = 90^{\circ}$,点Q是AB边上一动点,连接PQ,CQ.已知AB = 3,BC = 4,则PQ + CQ的最小值为
(B)

A.$5\sqrt{2} - 2$
B.$3\sqrt{5} - 2$
C.$5\sqrt{5} - 4$
D.$2\sqrt{5} + 2$

答案：
9 B
∵∠APD=90°,
∴点P在以AD为直径的⊙O上,如图，作点C关于AB的对称点C',连接C'B,C'Q,C'O,OP,设C'O与⊙O交于点P',则C'Q=CQ,C'B=BC=4.根据“两点之间线段最短”,可知PQ+CQ=PQ+C'Q+OP−OP'≥C'O−OP'=C'O−2,
∴当且仅当点C',Q,P,O共线时,PQ+CQ的值最小,最小值为C'O−2.过点O作OH⊥BC于点H,则OH=AB=3,BH=2,
∴C'H=2+4=6,
∴C'O=$\sqrt{C'H^2 + OH^2}$=3√5,
∴PQ+CQ的最小值为3√5−2.

10.已知抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a ＞ 0)$经过点$(m,0)(m ＜ 0)$,且$4a + 2b + c = 0$.有下列四个结论:
①$c ＜ 0$;②$3a + b ＞ 0$;③若方程$ax^{2} + bx + c = b$有两个不相等的实数根,且其中一个根小于m,则$m ＜ -3$;
④若$-2 ＜ m ＜ 0$,且抛物线过点$(0, -2)$,则$a + b - c ＜ \frac{5}{2}$.
其中正确结论的个数是
(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
10 C 逐个分析如下:
序号 分析 正误
①
∵4a + 2b + c = 0,
∴抛物线过点(2, 0).
∵a ＞ 0,
∴抛物线开口向上.又
∵m ＜ 0,
∴抛物线与y轴交于负半轴 (点拨: 可描出点(m, 0), (2,0), 画出一条开口向上的抛物线,如图,即可判断),
∴c ＜ 0. √
②
∵4a + 2b + c = 0,
∴c = -4a - 2b (关键点1). 根据①中的图象可知,当x = 1时,y ＜ 0,
∴a + b + c ＜ 0 (关键点2),
∴a + b - 4a -2b = -3a - b ＜ 0,
∴3a + b ＞ 0. √
③
∵方程ax² + bx + c = b有两个不相等的实数根,且其中一个根小于m,
∴b ＞ 0 (关键点1: 结合图象确定b的范围).
∵抛物线的对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$, a ＞ 0, b ＞ 0,
∴抛物线的对称轴在y轴左侧 (关键点2: 确定抛物线对称轴的位置),
∴$\frac{2 + m}{2} ＜ 0$ (点拨: 由于抛物线过点(m, 0), (2, 0), 故其对称轴为直线x = $\frac{2 + m}{2}$),
∴m ＜ -2. ×
④
∵抛物线过点(0, -2),
∴c = -2. 又
∵4a +2b + c = 0,
∴a = -$\frac{1}{2}b + \frac{1}{2}$,
∴a + b - c = -$\frac{1}{2}b + \frac{1}{2} + b + 2 = \frac{1}{2}b + \frac{5}{2}$ (关键点1: 用含b的式子表示出a + b - c的值).
∵-2 ＜ m ＜ 0,
∴$\frac{2 + m}{2} ＞ 0$.
∵抛物线的对称轴在y轴右侧,
∴-$\frac{b}{2a} ＞ 0$,
∴b ＜ 0 (关键点2: 确定b的范围),
∴$\frac{1}{2}b + \frac{5}{2} ＜ \frac{5}{2}$, 即a + b - c ＜ $\frac{5}{2}$. √

11.分解因式:$ab^{2} - 2ab + a =$a(b-1)^2.

答案： 11 a(b - 1)²

12. 新课标 开放性试题 请写出不等式组$\begin{cases}3x - 2 ＞ x, \\ \frac{1}{2}x \leq 3\end{cases}$的一个整数解: ______ .

答案： 12 2(答案不唯一,满足1 ＜ x ≤ 6即可)

13.若m,n是方程$x^{2} + x - 2026 = 0$的两个实数根,则$m^{2} + 2m + n$的值为2025.

答案： 13 2025 [解析]
∵m,n是方程x²+x−2026=0的两个实数根,
∴m²+m=2026,m+n=−1,
∴m²+2m+n=m²+m+(m+n)=2026+(−1)=2025.

14. 新考法 结合不定点 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\odot O$的半径为1,点P为边AD上任意一点(不与点A,D重合),连接CP.若$\overgroup{ADC}$的长为$\frac{5}{3}\pi$,则$∠APC$的度数可能是35°.

答案：
14 35°(答案不唯一) [解析]如图,连接AO,CO.设$\overset{\frown}{ADC}$所对的圆心角为n°,根据题意,得$\frac{n\pi · 1}{180} = \frac{5}{3}\pi$,解得n = 300,
∴$\overset{\frown}{ADC}$所对的圆心角为300°,
∴∠AOC = 60°,∠ADC = $\frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$(依据: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).
∵∠APC ＞ ∠ADC (依据: 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角),
∴∠APC ＞ 30°.

15. 新考法 定义“和倍数” 我们将任意三位数记为$\overline{abc}$(其中a,b,c分别表示该数的百位、十位、个位上的数字).若三位数$\overline{abc}$能被$(a + b + c)$整除,且a,b,c均不为0,则称这个三位数是“和倍数”,又称这个三位数是$(a + b + c)$的“和倍数”.例如:$\because 241 ÷ (2 + 4 + 1) = 34·s·s3$,$\therefore 241$不是“和倍数”;$\because 825 ÷ (8 + 2 + 5) = 55$,$\therefore 825$是15的“和倍数”.若三位数$\overline{abc}$是12的“和倍数”,且$a ＞ b ＞ c$,则这个三位数是732.

答案： 15 732 [解析]
∵abc是12的“和倍数”,
∴a + b + c = 12,c是偶数.又
∵a ＞ b ＞ c ＞ 0,
∴c ＜ $\frac{12}{3} = 4$,
∴c = 2,
∴a + b = 10,
∴分两种情况讨论: ①当b = 3,a = 7时,abc = 732. 732是12的“和倍数”. ②当b = 4,a = 6时,abc = 642. 642不是12的“和倍数”. 故这个三位数是732.

16.(本题每小题4分,共8分)
(1)计算:$\sqrt{12} - | - 1| + (\frac{1}{2})^{-1} - (2026 + \pi)^{0}$.
(2)先化简,再求值:$(\frac{x}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}) ÷ \frac{1}{x^{2} - 1}$,其中x满足$2x^{2} - 6x - 1 = 0$.

答案： 16
(1)原式=2√3 - 1 + 2 - 1 = 2√3. (2分)
(2)原式=$\left[ \frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{2(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \right] · (x + 1)(x - 1) = \frac{x^2 - 3x - 2}{(x + 1)(x - 1)} · (x + 1)(x - 1) = x^2 - 3x - 2$. (2分)
∵2x² - 6x - 1 = 0,
∴2(x² - 3x) = 1,
∴x² - 3x = $\frac{1}{2}$,
∴原式=x² - 3x - 2 = $\frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$. (4分)