《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. (本小题满分9分)
数学活动课上,甲、乙、丙、丁四名同学针对函数展开了讨论:
信息一:他们分别指出了函数$y_{1}$的一个性质:
甲:函数的图象不经过原点;
乙:函数的图象经过第一、三象限;
丙:在每个象限内,$y$随$x$的增大而减小;
丁:函数图象经过点$(2,3)$.
信息二:已知函数$y_{2}$的图象是一条直线,部分取值如下表所示:

(1)根据题中的信息,直接写出两个函数的表达式;
(2)求出两个函数的交点$A,B$(点$A$在点$B$的左边)的坐标;
(3)点$O$为坐标原点,求出$\triangle OAB$的面积.

答案：
20
(1)$y_{1} = \frac{6}{x},y_{2} = 2x + 1$. (2 分) 解法提示：由题意知,函数$y_{1}$为反比例函数. 设$y_{1} = \frac{k}{x}$,将$(2,3)$代入,得$k = 6$,
∴ $y_{1} = \frac{6}{x}$. 由题意知,$y_{2}$是一次函数. 设$y_{2} = mx + n(m \neq 0)$,将$(0,1),(1,3)$分别代入, 得$\begin{cases}1 = n, \\3 = m + n, \end{cases}$
∴ $\begin{cases}m = 2, \\n = 1, \end{cases}$
∴ $y_{2} = 2x + 1$.
(2)令$\frac{6}{x} = 2x + 1$,整理得,$2x^{2} + x - 6 = 0$, 解得$x_{1} = -2,x_{2} = \frac{3}{2}$, 当$x = -2$时,$y = \frac{6}{x} = -3$,当$x = \frac{3}{2}$时,$y = \frac{6}{x} = 4$,
∴ $A(-2,-3),B(\frac{3}{2},4)$. (5 分)
(3)画出函数$y_{1},y_{2}$的图象,设直线 AB 与 x 轴交于点 C,如 图所示.

对于$y_{2} = 2x + 1$,当$y = 0$时,$x = -\frac{1}{2}$,
∴ $C(-\frac{1}{2},0)$,
∴ $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COB} + S_{\triangle OCA} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 4 + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 3 = \frac{7}{4}$. (9 分)

21. (本小题满分10分)
新考法 结合平面直角坐标系考查圆的证明与计算 如图,四边形$OABC$在直角坐标系中,点$A(6,0),OA// BC$,且$OA = BC = 2AB$,以点$O$为圆心,$OA$长为半径画弧交$y$轴于点$D$,交$BC$于点$E$,点$M$为$y$轴上一点,$M(0,12)$,连接$ME$.
(1)求证:$ME$是弧$AD$所在圆的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.

答案：
21
(1)证明：如图,连接 OE.
∵ OA//BC,OA = BC,
∴ 四边形 OABC 是平行四边形 (依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ). 又 ∠AOC = $90^{\circ}$,
∴ 四边形 OABC 为矩形 (依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ),
∴ OC = AB.
∵ A(6,0),
∴ BC = OA = 6.
∵ BC = 2AB,
∴ OC = AB = 3.
∵ M(0,12),
∴ MC = 12 - 3 = 9. 由题意知 OA = OE = 6. 在 Rt△OCE 中,$CE = \sqrt{OE^{2} - OC^{2}} = 3\sqrt{3}$,
∴ $\tan ∠CME = \frac{CE}{MC} = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,$\tan ∠COE = \frac{CE}{OC} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$,
∴ ∠CME = $30^{\circ}$,∠COE = $60^{\circ}$,
∴ ∠OEM = $90^{\circ}$,
∴ ME⊥OE,
∴ ME 是弧 AD 所在圆的切线. (6 分)

(2)如图,$S_{阴影} = S_{四边形OABC} - S_{\triangle OCE} - S_{扇形OAE}$ = $3 × 6 - \frac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{3} - \frac{30\pi × 6^{2}}{360}$ = $18 - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3\pi$. (10 分)
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