《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

25. （本题满分12分）
如图，抛物线$y = -x^2 + bx + c$交$x$轴于$A$，$B$两点，交$y$轴于点$C$，其中$A(-1, 0)$，$C(0, 5)$.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点$P$为对称轴上一点，当$\triangle ACP$的周长最小时，求点$P$的坐标；
（3）点$M$为对称轴上一点，点$N$为抛物线上一点，若以$A$，$C$，$M$，$N$为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点$N$的坐标.

答案：
25
(1)$\because$抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$，$C(0,5)$，
$\therefore \begin{cases} 0=-1-b+c \\ 5=c \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=4 \\ c=5 \end{cases}$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-x^2+4x+5$. (4分)
(2)$\because$抛物线的表达式为$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=2$，点B的坐标为$(5,0)$. (5分)
如图所示，点A，B关于直线$x=2$对称，连接BC交对称轴于点P，点P即为所求(提示：“将军饮马”模型).
设直线BC的表达式为$y=mx+n(m \neq 0)$，
则$\begin{cases} 0=5m+n \\ 5=n \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=-1 \\ n=5 \end{cases}$，
$\therefore$直线BC的表达式为$y=-x+5$， (7分)
当$x=2$时，$y=3$，
$\therefore$点P的坐标为$(2,3)$. (8分)

(3)点N的坐标为$(-3,-16)$，$(3,8)$或$(1,8)$. (12分)
(写对一个点的坐标得2分，写对两个点的坐标得3分).
解法提示：由
(2)可知，抛物线的对称轴是直线$x=2$.
设点$M(2,m)$，$N(n,-n^2+4n+5)$.
分以下三种情况讨论.
①当AC为对角线时，
$\because A(-1,0)$，$C(0,5)$，
$\therefore 2+n=-1+0$，解得$n=-3$，此时$-n^2+4n+5=-16$，
$\therefore N(-3,-16)$.
②当AN为对角线时，
$-1+n=0+2$，解得$n=3$，此时$-n^2+4n+5=8$，
$\therefore N(3,8)$.
③当AM为对角线时，
$0+n=-1+2$，解得$n=1$，此时$-n^2+4n+5=8$，
$\therefore N(1,8)$.
综上所述，点N的坐标为$(-3,-16)$，$(3,8)$或$(1,8)$.
名师讲方法
高分技法
解决平行四边形存在性问题的策略
1.方法提炼
如图，在$□ ABCD$中，有$\begin{cases} x_A + x_C = x_B + x_D \\ y_A + y_C = y_B + y_D \end{cases}$.
巧记：平行四边形相对的两个顶点的横、纵坐标之和相等.
2.平行四边形存在性问题，基本都可以利用坐标模型求解.
具体步骤如下：
第一步：写出或设出三个顶点的坐标；
第二步：以“哪两个顶点相对”为分类标准，分三类讨论，利用“坐标模型”，求出第四个顶点的坐标；
第三步：将第四个顶点的坐标代入相应的函数解析式即可.
注：此方法最大的优势是不必画图分析，有效避免漏解.