《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20.(本小题满分8分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数$y_{1} = ax + 3$的图象与反比例函数$y_{2} = \frac{k}{x}$的图象交于点A,B,与x轴、y轴分别交于点$C(-4,0)$,D,点E在第一象限,点F是x轴正半轴上一点,菱形CDEF的边DE与反比例函数的图象交于点G,且$\frac{DG}{EG} = \frac{3}{2}$.
(1)求a的值和反比例函数的表达式;
(2)若点P是反比例函数$y_{2} = \frac{k}{x}$图象上一点,且$S_{\triangle EOF} = S_{\triangle PCO}$,求点P的坐标.

答案： 20
(1)
∵点C(-4, 0)在一次函数y1 = ax + 3的图象上,
∴-4a + 3 = 0,解得a = $\frac{3}{4}$. (2分)
对于y1 = $\frac{3}{4}x + 3$,当x = 0时,y1 = 3,
∴D(0, 3),
∴OD = 3.
∵C(-4, 0),
∴OC = 4,
∴CD = $\sqrt{OC^2 + OD^2} = 5$.
∵四边形CDEF是菱形,
∴DE = CD = 5,DE // x轴.又
∵$\frac{DG}{EG} = \frac{3}{2}$,
∴DG = 3,
∴G(3, 3),
∴k = 3 × 3 = 9,
∴反比例函数的表达式为y2 = $\frac{9}{x}$. (4分)
(2)由
(1)知CF = 5,CO = 4,
∴OF = 1,
∴S△EOF = $\frac{1}{2}OF · OD = \frac{3}{2}$,
∴S△PCO = $\frac{1}{2}CO · |y_P| = 2|y_P| = S_{\triangle EOF}$,
∴$y_P = \pm \frac{3}{4}$,
∴P(12, $\frac{3}{4}$)或(-12, -$\frac{3}{4}$). (8分)

21.(本小题满分10分)
如图,AB为$\odot O$的直径,点C是$\overgroup{AD}$的中点,过点C作射线BD的垂线,垂足为E.
(1)求证:CE是$\odot O$的切线.
(2)若$BE = 3$,$AB = 4$,
①求BC的长;
②求阴影部分的面积.

答案：
21
(1)证明: 如图,连接OC,
∵点C是AD的中点,
∴AC = DC,
∴∠ABC = ∠EBC.
∵OC = OB,
∴∠ABC = ∠OCB,
∵∠EBC = ∠OCB,
∴OC//BE;又
∵BE⊥CE,
∴OC⊥CE;又
∵OC是⊙O的半径,
∴CE是⊙O的切线. (3分)
(2)①如图,连接AC:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB = 90°,
∴∠ACB = ∠CEB.又
∵∠ABC = ∠EBC,
∴△ACB∽△CEB,
∴$\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BE}$,即$\frac{4}{BC} = \frac{BC}{3}$,
∴BC = 2√3. (6分)
②如图,连接OD,CD.
∵AB = 4,
∴OC = OB = 2.在Rt△BCE中,BC = 2√3,BE = 3,
∴$\cos \angle CBE = \frac{BE}{BC} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠CBE = 30°,
∴∠COD = 60°,∠ABC = 30°,
∴∠AOC = 60°,
∴∠BOD = 180° - ∠COD - ∠AOC = 60°.
∵OC = OD,
∴△COD是等边三角形,
∴∠CDO = 60°,
∴∠CDO = ∠BOD,
∴CD//AB,
∴S△COD = S△CBD (点拨: 同底等高的两个三角形面积相等),
∴S阴影 = S扇形COD = $\frac{60\pi × 2^2}{360} = \frac{2}{3}\pi$. (10分)