《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. （本小题满分10分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AD平分∠CAB，以BD为直径的⊙O交AB于点F，延长AD交⊙O于点E，连接CE，EF，CE//AB.
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若D为$\overset{\frown}{EF}$的中点，BD = 6，求四边形ACEF的面积.

答案：
20
(1)CE是⊙O的切线.
证明：如图，连接OE。
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE = ∠CAE。
∵CE//AB，
∴∠FAE = ∠CEA，
∴∠CAD = ∠CEA。 (2分)
∵OD = OE，
∴∠OED = ∠ODE。又
∵∠ODE = ∠ADC，
∴∠OEC = ∠OED + ∠CED = ∠ODE + ∠CAD = ∠ADC + ∠CAD = 90°，
∴CE⊥OE。又
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线。 (4分)

巧作辅助线：遇切点，连半径，证垂直
(2)如图，设EF交BC于点M。
∵D是$\overset{\frown}{EF}$的中点，且DB是⊙O的直径，
∴BC⊥EF，EM = FM。
∵∠ACB = 90°，
∴BC⊥AC，
∴AC//EF。又
∵CE//AB，四边形ACEF是平行四边形。 (7分)
∵∠CAD = ∠CEA，
∴CA = CE，
∴四边形ACEF是菱形（依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴CE = EF = 2EM，即EM = $\frac{1}{2}$CE，
∴∠OCE = 30°，
∴EF = CE = $\sqrt{3}$OE = $\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$×6 = 3$\sqrt{3}$，
∴CM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$CE = $\frac{9}{2}$，
∴S四边形ACEF = EF·CM = $\frac{27\sqrt{3}}{2}$ (10分)

21. (本小题满分9分)
某数学小组对校园中的一棵古树进行了测量活动，测量报告如下：

请结合以上信息解答下列问题：
(1)表格中a的值为4.8.
(2)请完成步骤四：计算古树的高度EG.(结果精确到0.1m，参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80)
(3)该数学小组在讨论方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量古树的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).

答案： 21
(1)4.8 (2分)
(2)在Rt△AEF中，tan∠EAF = tan26.6° = $\frac{EF}{AF}$，在Rt△ECF中，tan∠ECF = tan38.7° = $\frac{EF}{CF}$，
∴AF = $\frac{EF}{tan26.6°}$ ≈ $\frac{EF}{0.50}$ = 2EF，CF = $\frac{EF}{tan38.7°}$ ≈ $\frac{EF}{0.80}$ = 1.25EF。由题意可知四边形ABDC，ABGF都是矩形，
∴AC = BD = 4.8m，FG = AB = 1.6m。
∵AC = AF - CF，
∴2EF - 1.25EF = 4.8，
∴EF = 6.4m，
∴EG = EF + FG = 6.4 + 1.6 = 8.0(m)。
答：古树的高度EG约为8.0m。 (8分)
(3)没有阳光；古树底部不可到达；测量古树影子的长度遇到困难等。（答案不唯一，写出一条，合理即可） (9分)