《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. (本题12分)
图(1)是某摩天轮的实景图.摩天轮可视作半径为50米的$\odot O$,其上的某个座舱可视作$\odot O$上的点$A$,座舱距离地面的最低高度$BC$为10米,地面$l$上的观察点$D$到点$C$的距离$DC$为80米,平面示意图如图(2)所示.
(1) 当视线$DA$与$\odot O$相切时,求点$A$处的座舱到地面的距离.
(2) 已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟,当座舱距离地面不低于85米时,在座舱中观赏风景的体验最佳.点$A$处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中,求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长,并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长.
(以上结果均

保

留

小

数

点

后

一

位

数

字

,参考数据:$\tan36.87^{\circ}\approx\frac{3}{4}$,$\sin66.87^{\circ}\approx0.92$,$\cos66.87^{\circ}\approx0.39$,$\sqrt{3}\approx1.73$,$\pi\approx3.14$)

答案：
20.
(1)如图
(1)，连接$OA$，$OD$，过点$A$作$AE\perp l$，垂足为$E$.巧作辅助线：遇切点，连半径，得垂直

根据题意可得$OC = OB + BC = 50 + 10 = 60$(米)，$DC = 80$米，$\therefore OD=\sqrt{DC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{80^{2}+60^{2}}=100$(米).$\because\tan\angle ODC=\frac{OC}{CD}=\frac{60}{80}=\frac{3}{4}$，$\therefore\angle ODC\approx36.87^{\circ}$.$\because DA$与$\odot O$相切，$\therefore OA\perp AD$（依据：圆的切线垂直于过切点的半径），$\therefore\angle OAD = 90^{\circ}$.$\because\sin\angle ODA=\frac{OA}{OD}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$，$\therefore\angle ODA = 30^{\circ}$，$\therefore AD = OD\cos30^{\circ}=100×\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}$(米)，$\angle ADE=\angle ODA+\angle ODC=30^{\circ}+36.87^{\circ}=66.87^{\circ}$.在$Rt\triangle ADE$中，$AE = AD·\sin\angle ADE=50\sqrt{3}×\sin66.87^{\circ}\approx50×1.73×0.92\approx79.6$(米).故点$A$处的座舱到地面的距离约为79.6米.
(2)如图
(2)，过点$A$作$AF// l$，交$\odot O$于点$F$，延长$CO$交$AF$于点$H$，连接$OF$.

不妨设$CH = 85$米.
$\because HC\perp l$，$AF// l$，$\therefore OH\perp AF$，$\therefore OH = CH - OB - BC = 85 - 50 - 10 = 25$(米).又$\because OA = 50$米，$\therefore\cos\angle AOH=\frac{OH}{OA}=\frac{25}{50}=\frac{1}{2}$，$\therefore\angle AOH = 60^{\circ}$.$\because OH\perp AF$，$AO = FO$，$\therefore\angle FOH=\angle AOH = 60^{\circ}$（依据：等腰三角形“三线合一”），$\therefore\angle AOF = 120^{\circ}$，$\therefore$座舱中乘客最佳观赏风景的时长为$\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}}×30 = 10$(分)，这段时间该座舱经过的圆弧的长为$\frac{120\pi×50}{180}\approx104.7$(米).

21. (本题12分)
如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y = ax^{2}+bx(a ＜ 0)$与正比例函数$y = kx$的图象都经过点$A(3,3)$,点$P$为二次函数图象上点$O$与点$A$之间的一点,过点$P$作$x$轴的垂线,交$OA$于点$C$,交$x$轴于点$D$.
(1) 若点$A$为该二次函数图象的顶点,
①求二次函数的表达式;
②求线段$PC$长度的最大值.
(2) 若该二次函数图象与$x$轴的另一交点为$B(m,0)$,且$m ＞ 4$,求$a$的取值范围.

答案： 21.
(1)①$\because$二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象的顶点坐标为$(3,3)$，$\therefore$可把$y = ax^{2}+bx$转化为$y = a(x - 3)^{2}+3$(点拨：顶点式).$\because$二次函数的图象经过$O(0,0)$，$\therefore0 = a(0 - 3)^{2}+3$，解得$a = -\frac{1}{3}$，$\therefore$二次函数的表达式为$y = -\frac{1}{3}(x - 3)^{2}+3$(或$y = -\frac{1}{3}x^{2}+2x$).
②$\because$正比例函数$y = kx$的图象经过点$A(3,3)$，$\therefore3 = 3k$，$\therefore k = 1$，$\therefore$正比例函数的表达式为$y = x$.
设点$P$的坐标为$(n,-\frac{1}{3}n^{2}+2n)(0 ＜ n ＜ 3)$，则点$C$的坐标为$(n,n)$，$\therefore PC = PD - CD=-\frac{1}{3}n^{2}+2n - n=-\frac{1}{3}n^{2}+n=-\frac{1}{3}(n - \frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}$.$\because-\frac{1}{3}＜0$，$\therefore$当$n = \frac{3}{2}$时，线段$PC$长度的值最大，最大值为$\frac{3}{4}$.
(2)对于$y = ax^{2}+bx$，令$y = 0$，则$ax^{2}+bx=x(ax + b)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-\frac{b}{a}$，$\therefore$点$B$的坐标为$(-\frac{b}{a},0)$，$\therefore m = -\frac{b}{a}$.
$\because$二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象经过点$(3,3)$，$\therefore3 = 9a + 3b$，$\therefore b = 1 - 3a$，$\therefore m=\frac{3a - 1}{a}$.
$\because m ＞ 4$，$\therefore\frac{3a - 1}{a}＞4$，解得$a ＞ -1$.
又$\because a ＜ 0$，$\therefore - 1 ＜ a ＜ 0$.