《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

22. (本小题满分10分)
如图,$AB$为$\odot O$的直径,$C$,$G$为圆上两点,$CE// AG$,且与$GB$的延长线交于点$E$,$CD⊥AB$,垂足为$F$,$CB$平分$\angle DCE$.
(1)求证:$CE$为$\odot O$的切线;
(2)若$\tan\angle CAB=\frac{1}{2}$,求$\frac{AG}{GB}$的值.

答案：

(1)证明:如图,连接OC.
∵CD⊥AB,∠CFB = 90°,
∴∠FCB + ∠CBF = 90°.
∵CB平分∠DCE,
∴∠FCB = ∠ECB.
∴∠ECB + ∠CBF = 90°.
∵OC = OB,
∴∠OCB = ∠CBF.
∴∠ECB + ∠OCB = 90°,
∴∠OCE = 90°,即OC⊥CE.
又
∵OC为⊙O的半径,
∴CE为⊙O的切线. (4分)
(2)
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB = 90°(依据:直径所对的圆周角是直角).
∵CD⊥AB,
∴$\overset\frown{BC} = \overset\frown{BD}$(依据:垂直于弦的直径平分弦,并平分弦所对的两条弧),
∴∠CAB = ∠BCD(依据:等弧所对的圆周角相等).
∴tan∠BCF = tan∠CAB = $\frac{1}{2}$,$\frac{FB}{CF} = \frac{1}{2}$.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠G = 90°.
∵CE//AG,
∴∠E = 180° - ∠G = 90°,
∴∠BFC = ∠E.
又
∵∠FCB = ∠ECB,BC = BC,
∴△BFC≌△BEC(AAS),
∴CF = CE.
延长CO交AG于点H.
设CF = 2a,则CE = 2a,AF = 4a,FB = a,
∴AB = 5a.

∵∠G = ∠E = ∠OCE = 90°,
∴四边形CEGH为矩形(依据:有三个角为直角的四边形是矩形),
∴CH⊥AG,HG = CE = 2a,
∴AH = HG = 2a(依据:垂径定理),
在Rt△AGB中,AG = 4a,AB = 5a,
∴BG = $\sqrt{AB^2 - AG^2} = 3a$,
∴$\frac{AG}{GB} = \frac{4}{3}$. (10分)

23. (本小题满分13分)
二次函数$y = ax^{2}+bx+\frac{b^{2}-4b}{4}(a≠0,a,b$为实数).
(1)当$a = 1$,$b≠0$时,探究发现抛物线的顶点恰好在直线$y_{1}=kx$上.
①直接写出$k$的值:2;
②若抛物线与直线$y_{1}$有两个交点,设两个交点分别为$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,请证明$|x_{1}-x_{2}| = 2$;若抛物线与直线$y_{1}$没有两个交点,请说明理由.
(2)若$b ＞ 0$,直线$y_{2}=bx+\frac{1}{a}$与二次函数$y = ax^{2}+bx+\frac{b^{2}-4b}{4}$的图象相交于$C(\frac{1}{a},p)$和$D(m,n)$两点,其中$p≠0$.
①求$b$的值;
②当$1\leq x\leq 3$时,求二次函数$y = ax^{2}+bx+\frac{b^{2}-4b}{4}$的最大值.

答案：
(1)①2
解法提示:当a = 1,b≠0时,$y = x^2 + bx + \frac{b^2 - 4b}{4}$.
利用顶点坐标公式可得顶点坐标为$(-\frac{b}{2}, -b)$.
∵抛物线的顶点恰好在直线$y_1 = kx$上,
∴$-b = -\frac{b}{2} × k$,解得k = 2.
②由①可知$y_1 = 2x$,令$x^2 + bx + \frac{b^2 - 4b}{4} = 2x$,
整理得$4x^2 + (4b - 8)x + (b^2 - 4b) = 0$,
∴Δ = $(4b - 8)^2 - 4 × 4 × (b^2 - 4b) = 64 ＞ 0$,
∴抛物线$y = x^2 + bx + \frac{b^2 - 4b}{4}$与直线$y_1$总有两个交点.
根据根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 2 - b$,$x_1x_2 = \frac{b^2 - 4b}{4}$,
∴$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{4} = 2$. (5分)
(2)①:抛物线$y = ax^2 + bx + \frac{b^2 - 4b}{4}$和直线$y_2$均经过点C,
∴$\frac{b}{a} + \frac{1}{a} = p$,$\frac{1}{a} + \frac{b}{a} + \frac{b^2 - 4b}{4} = p$,
∴$\frac{b}{a} + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} + \frac{b}{a} + \frac{b^2 - 4b}{4}$,
整理得$b^2 - 4b = 0$,解得$b_1 = 0$,$b_2 = 4$,
又
∵b ＞ 0,
∴b = 4. (8分)
②由①知b = 4,
∴$y = ax^2 + 4x$,
∴抛物线的对称轴是直线$x = -\frac{4}{2a} = -\frac{2}{a}$
分两种情况讨论:
当a ＞ 0时,$-\frac{2}{a} ＜ 0$,抛物线开口向上,
∴当1≤x≤3时,y随x的增大而增大,
∴当x = 3时,y取最大值,最大值为9a + 12. (9分)
当$-\frac{2}{a} ＞ 3$时,$a ＞ -\frac{2}{3}$,
∴$-\frac{2}{3} ＜ a ＜ 0$.
此时在1≤x≤3范围内,y随x的增大而增大,
∴当x = 3时,y取最大值,最大值为9a + 12.
当$1 \leq -\frac{2}{a} \leq 3$时,$-2 \leq a \leq -\frac{2}{3}$.
此时在1≤x≤3范围内,当x = $-\frac{2}{a}$时,y取最大值,最大值为$-\frac{4}{a}$.
当$-\frac{2}{a} ＜ 1$时,a ＜ - 2,此时在1≤x≤3范围内,y随x的增大而减小,
∴当x = 1时,y取最大值,最大值为a + 4.
综上,当a ＞ $-\frac{2}{3}$且a≠0时最大值为9a + 12;当 - 2≤a≤$-\frac{2}{3}$时,最大值为$-\frac{4}{a}$;当a ＜ - 2时,最大值为a + 4. (13分)