《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

21. （9分）如图，$ PA $是 $ \odot O $的切线，点 $ A $为切点，点 $ B $为 $ \odot O $上一点，射线 $ PB $，$ AO $交于点 $ C $，连接 $ AB $，点 $ D $在 $ AB $上，过点 $ D $作 $ DF\perp AB $，交 $ AP $于点 $ F $，作 $ DE\perp BP $，垂足为 $ E $. $ AD = BE $，$ BD = AF $.
（1）求证：$ PB $是 $ \odot O $的切线.
（2）若 $ AP = 4 $，$ \sin C=\frac{2}{3} $，求 $ \odot O $的半径.

答案：
21
(1) 证明:如图，连接OB.
∵ PA是⊙O的切线，
∴ ∠OAP=90°,即∠1+∠3=90°.　　　　　　　　(1分)
∵ DE⊥BP, DF⊥AB,
∴ ∠BED=∠ADF=90°.
　　又
∵ BE=AD, BD=AF,
∴ △DEB ≌ △FDA(HL),
∴ ∠3=∠4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
∵ OA=OB,
∴ ∠1=∠2,
∴ ∠2+∠4=∠1+∠3=90°,即OB⊥BP,
∴ PB是⊙O的切线.　　　　　　　　　　　　　　(3分)
　　　　　　　
(2) 如图，
∵ OB⊥BP, ∠OAP=90°,
∴ $\sin C = \frac{AP}{PC} = \frac{OB}{OC} = \frac{2}{3}$.　　　　　　　　　　　　　(5分)
　　设OB=2x,则OC=3x, OA=2x,
∴ $BC = \sqrt{OC^2 - OB^2} = \sqrt{5}x$.　　　　　　　　　　　(6分)
∵ PA,PB均是⊙O的切线，
∴ PB=PA=4 (依据:切线长定理).
∵ $\frac{AP}{PC} = \frac{2}{3}$,即$\frac{4}{4 + \sqrt{5}x} = \frac{2}{3}$,
∴ $x = \frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴ $OB = \frac{4\sqrt{5}}{5}$,即⊙O的半径为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.　　　　　　　　(9分)

22. (10分)新考法 结合网格推理证明 问题提出
已知 $ \angle\alpha $，$ \angle\beta $都是锐角，$ \tan\alpha=\frac{1}{2} $，$ \tan\beta=\frac{1}{3} $，求 $ \angle\alpha+\angle\beta $的度数.
问题解决
(1)如图，小亮同学在边长为 $ 1 $的正方形网格中画出 $ \angle BAD $和 $ \angle CAD $，请你按照这个思路求 $ \angle\alpha+\angle\beta $的度数.(点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $都在格点上)
策略迁移
(2)已知 $ \angle\alpha $，$ \angle\beta $都是锐角，$ \tan\alpha=\frac{2}{3} $，$ \tan\beta=\frac{3}{2} $，则 $ \angle\alpha+\angle\beta= $90°.
(3)已知 $ \angle\alpha $，$ \angle\beta $，$ \angle\theta $都是锐角，$ \tan\alpha=\frac{1}{3} $，$ \tan\beta=\frac{1}{7} $，$ \angle\alpha+\angle\beta=\angle\theta $，求 $ \tan\theta $的值.
(提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案)

答案：
22
(1) 如图
(1),连接BC.
∵ AB = $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$, BC = $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$,
　　AC = $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$,
∴ $AB^2 + BC^2 = AC^2$, AB=BC,
∴ △ABC是等腰直角三角形 (点拨:根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形)，　　　　　　　　　　(2分)
∴ ∠ABC=90°, ∠BAC=45°,
∴ ∠α+∠β=45°.　　　　　　　　　　　　　　　(3分)
　　　 　　　　
(2) 90　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)
　　解法提示:如图
(2).
　　由题意,得$\tan \alpha = \tan \angle BAD = \frac{2}{3}$, $\tan \beta = \tan \angle DAC = \frac{3}{2}$.
∴ ∠α=∠BAD, ∠β=∠DAC.
　　同
(1)中思路，易证△ABC是等腰直角三角形，
∴ ∠BAC=90°,
∴ ∠α+∠β=∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°.
(3) 在正方形网格中画出求解过程的图形如图
(3)所示,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
　　$\tan \theta = \frac{1}{2}$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
　　解法提示:如图
(3).

　　由题意,得$\tan \alpha = \tan \angle GDH = \frac{1}{3}$, $\tan \beta = \tan \angle HDF = \frac{1}{7}$,
∴ ∠α=∠GDH, ∠β=∠HDF;
∵ ∠α+∠β=∠θ,
∴ ∠θ=∠GDH+∠HDF=∠GDF.
∵ $DG = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}$, $GF = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$, $DF = \sqrt{1^2 + 7^2} = 5\sqrt{2}$,
∴ $DG^2 + GF^2 = DF^2$,
∴ △DGF是直角三角形 (依据:勾股定理的逆定理)，
∴ $\tan \theta = \tan \angle GDF = \frac{GF}{DG} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{2}$.

23. （10分）（1）如图（1），将平行四边形纸片 $ ABCD $的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 $ EFGH $. 判断四边形 $ EFGH $的形状，并说明理由.
（2）如图（2），已知 $ □ ABCD $能按照图（1）的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形 $ MNPQ $，其中，点 $ M $在 $ AD $上，点 $ N $在 $ AB $上，点 $ P $在 $ BC $上，点 $ Q $在 $ CD $上. 请用直尺和圆规确定点 $ M $的位置.（不写作法，保留作图痕迹）

答案：
23
(1) 四边形EFGH是矩形.　　　　　　　　　　　　(1分)
　　理由:由折叠的性质可知, ∠AFE=∠EFK, ∠BFG=∠KFG.
∴ 2∠EFK+2∠KFG=2(∠EFK+∠KFG)=180°,
∴ ∠EFK+∠KFG=90°,即∠EFG=90°.
　　同理可得∠FGH=∠EHG=90°,
∴ 四边形EFGH是矩形 (依据:有三个角为直角的四边形是矩形).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
(2) 点M的位置如图所示(答案不唯一).　　　　　(10分)