《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

19.（本小题满分10分）
粮食安全，事关国计民生. 增强学生粮食安全意识，培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识. 为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试. 现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分. 所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表.

根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中的a = 20，b = 10，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是90度.
（2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图.
（3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团，并从中随机抽取2人进社区宣讲. 求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.

答案：
III19
(1)$20$ $10$ $90$
解法提示：$35÷35\%=100$,故所抽取的学生人数为100人.
$b=\frac{36^{\circ}}{360^{\circ}}×100=10$.
$a=100-(10+35+25+10)=20$.
第4组人数在结业成绩扇形统计图中对应的圆心角为$\frac{25}{100}×360^{\circ}=90^{\circ}$.
(2)补全结业成绩频数分布直方图如图所示.

(3)2名男生分别用$A,B$表示,3名女生分别用$a,b,c$表示.
根据题意,列表如下.
$A$ $B$ $a$ $b$ $c$
$A$ $(B,A)$ $(a,A)$ $(b,A)$ $(c,A)$
$B$ $(A,B)$ $(a,B)$ $(b,B)$ $(c,B)$
$a$ $(A,a)$ $(B,a)$ $(b,a)$ $(c,a)$
$b$ $(A,b)$ $(B,b)$ $(a,b)$ $(c,b)$
$c$ $(A,c)$ $(B,c)$ $(a,c)$ $(b,c)$ $(c,c)$
由列表可知,共有20种等可能的结果,其中恰好是1名男生和1名女生的结果有12种,故所求概率为$\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.

20. （本小题满分12分）
如图，反比例函数y = $\frac{-6}{x}$（x ＜ 0）和y = $\frac{12}{x}$（x ＞ 0）的图象分别与直线y = kx + b依次相交于A（m，1），B，C（3，n）三点.
（1）求出直线AC对应的函数表达式.
（2）分别以点A，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径作弧，两弧相交于点E和点F. 直线EF交y轴于点D，连接AD，CD. 试判断△ACD的形状，并说明理由.
（3）请直接写出关于x的不等式kx + b ＜ $\frac{-6}{x}$的解集.

答案： III20
(1)把$A(m,1)$代入$y=\frac{-6}{x}(x＜0)$,得$m=-6$,
$\therefore$点$A$的坐标为$(-6,1)$.
把$C(3,n)$代入$y=\frac{12}{x}(x＞0)$,得$n=4$,
$\therefore$点$C$的坐标为$(3,4)$.
把$(-6,1)$和$(3,4)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}-6k+b=1,\\3k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=3,\end{cases}$
$\therefore$直线$AC$对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x+3$.
(2)$\triangle ACD$是等腰直角三角形.
理由：由作图可知直线$EF$是线段$AC$的垂直平分线,
$\therefore DA=DC$,
$\therefore DA^{2}=DC^{2}$.
设点$D$的坐标为$(0,d)$,由$A(-6,1)$,$C(3,4)$可得$DA^{2}=6^{2}+(1-d)^{2}$,$DC^{2}=3^{2}+(4-d)^{2}$,$AC^{2}=(3+6)^{2}+(4-1)^{2}=90$,
$\therefore 6^{2}+(1-d)^{2}=3^{2}+(4-d)^{2}$,
解得$d=-2$,
$\therefore DA^{2}=DC^{2}=6^{2}+[1-(-2)]^{2}=45$,
$\therefore DA^{2}+DC^{2}=AC^{2}$,
$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$,
$\therefore \triangle ACD$是等腰直角三角形.
(3)$x＜-6$或$-3＜x＜0$.
解法提示：令$\frac{1}{3}x+3=-\frac{6}{x}$,则$x^{2}+9x+18=0$,解得$x_{1}=-6$,$x_{2}=-3$,故点$B$的横坐标为$-3$.结合题图可知关于$x$的不等式$kx+b＜\frac{-6}{x}$的解集为$x＜-6$或$-3＜x＜0$.