《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

21. （本题满分8分）
如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$，$D$是$\odot O$上的两点，$\widehat{AD} = \widehat{DC} = \widehat{CB}$，$DF \perp BC$于点$F$，延长$FD$交$BA$的延长线于点$E$，连接$BD$.
（1）求证：$DF$是$\odot O$的切线；
（2）若$\odot O$的半径为1，求图中阴影部分的面积.

答案：
21
(1)证明：如图，连接OD.
$\because AD = DC$，
$\therefore \angle OBD = \angle CBD$(依据：等弧所对的圆周角相等). (1分)
$\because OB = OD$，$\therefore \angle OBD = \angle ODB$，
$\therefore \angle ODB = \angle CBD$，
$\because DF // BC$，$\therefore \angle ODE = \angle F$.
$\because DF \perp BC$，$\therefore \angle ODE = \angle F = 90^{\circ}$，
即$OD \perp DF$.
又$\because OD$是半径，$\therefore DF$是$\odot O$的切线. (4分)
巧作辅助线：连半径，证垂直，得相切
(2)如图，$\because AB$是$\odot O$的直径，$\widehat{AD} = \widehat{DC} = \widehat{CB}$，
$\therefore \angle AOD = 60^{\circ}$. (5分)
在$Rt\triangle ODE$中，$OD = 1$，$\therefore DE = \sqrt{3}$， (6分)
$\therefore S_{阴影} = S_{\triangle ODE} - S_{扇形AOD} = \frac{1}{2} × 1 × \sqrt{3} - \frac{60\pi × 1^2}{360} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$. (8分)

22. （本题满分8分）
五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响.以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题.

答案：
22
(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\because \angle ABC = 90^{\circ}$，$BC = 4.4m$，$\angle ACB = 70^{\circ}$，
$\therefore AB = BC · \tan 70^{\circ} \approx 4.4 × 2.75 = 12(m)$. (4分)
(2)方法一：如图
(1)，过点D作$DF \perp AB$于点F.
在$Rt\triangle ADF$中，$\because \angle \alpha = 30^{\circ}$，$DF = BE = 19m$，
$\therefore AF = DF · \tan 30^{\circ} = 19 × \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 10.96(m)$，
$\therefore DE = BF = AB - AF = 12 - 10.96 = 1.0(m)$.
$\because$一楼窗户下端距离地面的高度为$1.4m$，$1.0 ＜ 1.4$，
$\therefore$不会影响一楼的采光. (8分)
方法二：如图
(2)，延长AD交BE的延长线于点F.
$\because \angle \alpha = 30^{\circ}$，$\therefore \angle AFB = 30^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABF$中，$\because AB = 12m$，
$\therefore BF = \frac{AB}{\tan 30^{\circ}} = 12 ÷ \frac{\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}(m)$.
$\because BE = 19m$，$\therefore EF = BF - BE = (12\sqrt{3} - 19)m$，
$\therefore DE = EF · \tan 30^{\circ} = (12\sqrt{3} - 19) × \frac{\sqrt{3}}{3} = 12 - 19 × \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 12 - 10.96 \approx 1.0(m)$.
$\because$一楼窗户下端距离地面的高度为$1.4m$，$1.0 ＜ 1.4$，
$\therefore$不会影响一楼的采光.
名师讲方法
解决问题
(2)的关键是求出DE的长，若DE的长小于一楼窗户下端到地面的距离，则不影响一楼的采光，否则影响一楼的采光.