《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

17. （本小题满分8分）
如图（1），$AC = 2AB = 4$. 以点$A$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$AB$，$AC$于点$M$，$N$. 分别以点$M$，为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在$\angle BAC$内交于点$E$. 作射线$AE$. 过点$C$作$CD // AB$，$AE$于点$D$.
（1）求$CD$的长.
（2）如图（2），连接$BD$. 分别以点$A$，$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧交于点$P$，$Q$. 作直线$PQ$，交$AB$的延长线于点$F$，连接$CF$，交$BD$于点$G$. 当$\angle BAC = 60^{\circ}$时，求$\frac{BG}{DG}$的值.

答案： （1）由作图可知$AD$平分$\angle BAC$，$\therefore\angle BAD=\angle CAD$.
$\because CD// AB$，$\therefore\angle ADC=\angle BAD$.
$\therefore\angle ADC=\angle CAD$，
$\therefore CD = AC = 4$.
（2）由作图可知$PQ$垂直平分线段$AC$，
$\therefore FA = FC$（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
又$\because\angle BAC = 60^{\circ}$，
$\therefore\triangle ACF$为等边三角形（点拨：“有一个角为$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形”）.$\therefore AF = AC = 4$.
又$\because AB = 2$，$\therefore BF = AF - AB = 4 - 2 = 2$.
由（1）知，$CD = 4$.
$\because CD// AB$，$\therefore\triangle BGF\sim\triangle DGC$（点拨：“8”字相似模型）.
$\therefore\frac{BG}{DG}=\frac{BF}{DC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

18. (本小题满分8分)
在平面直角坐标系$xOy$中，已知四边形$OABC$为矩形，其中$A(4,0)$，$C(0,3)$.
(1)当反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象和矩形$OABC$有交点时，$k$的最大值为12.(请直接写出结果)
(2)如图，反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象与$AB$，$BC$分别交于点$D$，$E$，连接$DE$.
①连接$OD$，$OE$，当$k = 6$时，求$\triangle ODE$的面积.
②连接$AC$，判断$DE$与$AC$是否平行？并说明理由.

答案： （1）12
（2）①当$k = 6$时，$y=\frac{6}{x}$
对于$y=\frac{6}{x}$，当$y = 3$时，$x = 2$；当$x = 4$时，$y=\frac{3}{2}$
$\therefore D(4,\frac{3}{2})$，$E(2,3)$，
$\therefore AD=\frac{3}{2}$，$CE = 2$，$BD = 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，$BE = 4 - 2 = 2$，
$\therefore S_{\triangle ODE}=S_{矩形OABC}-S_{\triangle OCE}-S_{\triangle OAD}-S_{\triangle BED}$
$=3×4-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}$
$=12 - 3 - 3-\frac{3}{2}$
$=\frac{9}{2}$
②DE与AC平行.
理由：$\because$四边形$OABC$是矩形，$A(4,0)$，$C(0,3)$，
$\therefore AB = OC = 3$，$BC = OA = 4$.
$\because E(\frac{k}{3},3)$，$D(4,\frac{k}{4})$，$\therefore BE = 4-\frac{k}{3}$，$BD = 3-\frac{k}{4}$，$\therefore\frac{BE}{BC}=\frac{4-\frac{k}{3}}{4}=\frac{12 - k}{12}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{3-\frac{k}{4}}{3}=\frac{12 - k}{12}$，
$\therefore\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$
又$\because\angle B=\angle B$，
$\therefore\triangle BED\sim\triangle BCA$，$\therefore\angle BED=\angle BCA$，
$\therefore DE// AC$.
一题多解
由$A(4,0)$，$C(0,3)$易求得直线$AC$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x + 3$.
由$D(4,\frac{k}{4})$，$E(\frac{k}{3},3)$易求得直线$DE$的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{k + 12}{4}$
$\therefore$直线$DE$可以由直线$AC$经过平移得到，$\therefore DE// AC$.