《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

23. (本小题满分11分)
根据以下素材,探索完成任务.

答案：
23 任务1 根据题意,可知抛物线过点(0,$\frac{1}{2}$+2),即(0,$\frac{5}{2}$),对称轴为直线x=$\frac{2}{2}$=1,
由遮阳棚AB所在的抛物线与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²的形状相同，抛物线开口向下,可设抛物线为y=−$\frac{1}{4}$x²+bx+c,
将(0,$\frac{5}{2}$)代入,可得c=$\frac{5}{2}$,
令−$\frac{b}{2×(−\frac{1}{4})}$=1,得b=$\frac{1}{2}$.
∴遮阳棚所在抛物线的函数表达式为y=−$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$.
任务2 s=0.06,0.06+0.08+0.02=0.16,2.5+0.16=
2.66.
令−$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$=2.66,解得x₁=$\frac{2}{5}$,x₂=$\frac{8}{5}$,
d=($\frac{8}{5}$−$\frac{2}{5}$)÷3=$\frac{2}{5}$.
故d的值为$\frac{2}{5}$.
任务3 易知C(0,2),B(2,$\frac{5}{2}$),BC=$\frac{\sqrt{17}}{2}$m,可设直线BC 的函数表达式为y=mx+n,
将C(0,2),B(2,$\frac{5}{2}$)分别代入，
可得{ n=2, 2m+n=$\frac{5}{2}$,解得{ m=$\frac{1}{4}$, n=2,
∴直线BC的函数表达式为y=$\frac{1}{4}$x+2.
过点F作x轴的垂线，交BC于点G,如图,则FG//AC,
∴∠FGE=∠ACB,
∴sin∠FGE=sin∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$,
∴EF=FGsin∠FGE=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$FG.
设点F的横坐标为e,则F(e,−$\frac{1}{4}$e²+$\frac{1}{2}$e+$\frac{5}{2}$),G(e,$\frac{1}{4}$e+2),
∴FG=−$\frac{1}{4}$e²+$\frac{1}{2}$e+$\frac{5}{2}$−($\frac{1}{4}$e+2)=−$\frac{1}{4}$e²+$\frac{1}{4}$e+$\frac{1}{2}$=−$\frac{1}{4}$(e−$\frac{1}{2}$)²+$\frac{9}{16}$,
∴当e=$\frac{1}{2}$时,FG最大,最大值为$\frac{9}{16}$,此时EF=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$×$\frac{9}{16}$=$\frac{9\sqrt{17}}{68}$,
∴BC+EF=$\frac{\sqrt{17}}{2}$+$\frac{9\sqrt{17}}{68}$=$\frac{43\sqrt{17}}{68}$.
故支撑架最长共$\frac{43\sqrt{17}}{68}$m.