《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

9. 数学课上,甲、乙、丙、丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距$360km$,张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地,两车恰好同时到达.已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是$4:3$,两车的平均速度分别是多少?”列出了如下方程:
①设豪华客车的平均速度是$xkm/h$,则
甲列的方程为$\frac{360}{\frac{3}{4}x} - \frac{360}{x} = \frac{5}{4}$;乙列的方程为$\frac{360}{x} - \frac{360}{\frac{4}{3}x} = \frac{5}{4}$;
②设普通客车的平均速度是$xkm/h$,则
丙列的方程为$\frac{360}{\frac{3}{4}x} - \frac{360}{x} = \frac{5}{4}$;丁列的方程为$\frac{360}{x} - \frac{360}{\frac{4}{3}x} = \frac{5}{4}$.
则四位同学列出的方程正确的是 (B)

A.甲、丙
B.甲、丁
C.乙、丙
D.乙、丁

答案： 9 B 设豪华客车的平均速度是 x km/h,则普通客车的平均 速度是$\frac{3}{4}x$ km/h,由题意得$\frac{360}{\frac{3}{4}x}-\frac{360}{x}=\frac{5}{4}$.故甲列的方程 正确,乙列的方程错误.设普通客车的平均速度是 x km/h, 则豪华客车的平均速度是$\frac{4}{3}x$ km/h,由题意得$\frac{360}{x}-\frac{360}{\frac{4}{3}x}=$ $\frac{5}{4}$,故丁列的方程正确,丙列的方程错误.故四位同学列出 的方程正确的是甲、丁.故选 B.

10. 如图,已知$\triangle ABC$的顶点坐标分别为$A(3,0),B(0,4),C(-3,0)$.动点$E,F$同时从点$A$出发,$E$沿$A→C$运动,$F$沿折线$A→B→C$运动,均以每秒1个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点$C$时,另一个动点也随之停止移动,移动时间记为$t$秒,连接$EF$.当点$E,F$移动时,记$\triangle ABC$在直线$EF$右侧部分的面积为$S$,则$S$关于时间$t$的函数图象为 (A)

答案：
10 A 易知 AB = BC = 5,AC = 6.过点 F 作 FG⊥x 轴于点 G,则 FG//OB.分析如下. t 的取值范围 分析 点 F 在线段 AB 上运动,如图
(1),此时 △ABC 在直线 EF 右侧部分为 △AEF.易 得 △ABO∼△AFG,
∴ $\frac{FG}{BO}=\frac{AF}{AB}$ 易知 AF = AE = t,
∴ $\frac{FG}{4}=\frac{t}{5}$,
∴ FG = $\frac{4}{5}t$,
∴ $S = S_{\triangle AEF} =$ $\frac{1}{2}AE · FG = \frac{1}{2} × t × \frac{4}{5}t = \frac{2}{5}t^{2}$. 当 0 ＜ t ≤ 5 时 点 F 在线段 BC 上运动,如图
(2),此时 △ABC 在直线 EF 右侧部分为四边形 ABFE (关键点 ).
∵ AE = t,
∴ CE = AC - AE = 6 - t.易知 BF = t - 5,
∴ FC = 5 - (t - 5 ) = 10 - t.同理可得 △BOC∼△FGC, $\frac{BO}{FG}=\frac{BC}{FC}$,即$\frac{4}{FG}=\frac{5}{10 - t}$,
∴ FG = $\frac{4}{5}(10 - t)$,
∴ $S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle CEF} = \frac{1}{2}AC · BO - \frac{1}{2}CE · FG = \frac{1}{2} × 6 × 4 - \frac{1}{2} × (6 - t) × \frac{4}{5}(10 - t) =$ $-\frac{2}{5}t^{2} + \frac{32}{5}t - 12$. 当 5 ＜ t ≤ 6 时 故选 A.

11. 因式分解:$3ab^{2} + 6a^{2}b + 3a^{3} = $$\frac{3a(b + a)^{2}}{}$.

答案： 11 $\frac{3a(b + a)^{2}}{}$

12. 写出满足不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ 3,\\x - 1 ＜ 7 - x\end{cases}$的整数解: ______ .

答案： 12 3 【解析】解不等式$2x - 1 ＞ 3$,得$x ＞ 2$.解不等式$x - 1 ＜ 7 - x$,得$x ＜ 4$,
∴ 不等式组的解集为$2 ＜ x ＜ 4$,
∴ 不等式组的整数解为 3.

13. 如图,$AE$是$\triangle ABC$的外接圆的直径,点$O$为圆心.若$\angle BAE = 25^{\circ}$,则$\angle C = $65$^{\circ}$.

答案：
13 65 【解析】如图,连接 BE,
∵ AE 是 △ABC 的外接圆的直径,
∴ ∠ABE = $90^{\circ}$ (依据：直径所对的圆周角是直角 ),
∴ ∠AEB = $90^{\circ}- ∠BAE = 90^{\circ}- 25^{\circ}= 65^{\circ}$,
∴ ∠C = ∠AEB = $65^{\circ}$ (依 据：同弧所对的圆周角相等 ).

一题多解
如图，连接 EC　　AE是△ABC的外接圆的直径，∠ACE = 90°(依据:直径所对的圆周角是直角)。又∠BAE = 25°，且同弧所对的圆周角相等，所以∠BCE = ∠BAE = 25°，则∠ACB = 90° - 25° = 65°。

14. 新考法 定义函数的不动点 对于任意函数,定义当$x = x_{0}$时,若函数值$y = x_{0}$,则称点$(x_{0},x_{0})$为此函数的不动点.例如:函数$y = 2x - 1$,当$x = 1$时,$y = 1$,则点$(1,1)$为此函数的不动点.则二次函数$y = 2x^{2} - 4x - 3$的不动点为$(3,3)或(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.

答案： 14 $(3,3)或(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ 【解析】根据题意,令$2x^{2}-4x - 3 = x$,整理得$2x^{2}-5x - 3 = 0$,解得$x_{1}=3,x_{2}=-\frac{1}{2}$,
∴ 二次函数$y = 2x^{2}-4x - 3$的不 动点为$(3,3)或(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.

15. 在平面直角坐标系中,点$M(x,y)$经过某种变换后得到点$M'(y + 3,-x - 1)$.已知点$M_{1}$经过此变换得到点$M_{2}$,点$M_{2}$经过此变换得到点$M_{3}$,点$M_{3}$经过此变换得到点$M_{4}$,这样依次得到点$M_{5},M_{6},·s,M_{n}$.若点$M_{1}$的坐标为$(2,1)$,则点$M_{2025}$的坐标为(2,1).

答案： 15 (2,1) 名师教解题 第一步：明确变换规则 $M(x,y)\xrightarrow{x变号,且与y互换位置}(y,-x)\xrightarrow{y加3,-x减1}M'(y + 3,-x - 1)$ 第二步：根据变换规则依次计算初始点坐标 点$M_{1}(2,1)$经过此种变换得到点$M_{2}(1 + 3,-2 - 1)$,即 $M_{2}(4,-3)$,点$M_{2}(4,-3)$经过此种变换得到点$M_{3}(-3 + 3,-4 - 1)$,即$M_{3}(0,-5)$,点$M_{3}(0,-5)$经过此种变换得到 点$M_{4}(-5 + 3,0 - 1)$,即$M_{4}(-2,-1)$,点$M_{4}(-2,-1)$经 过此种变换得到点$M_{5}(-1 + 3,2 - 1)$,即$M_{5}(2,1)$…… 第三步：发现循环规律 观察点$M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5}$坐标呈现的特点,可以发现点 $M_{1}(2,1)$的变换每四次为一个循环. 第四步：利用循环周期求指定点坐标
∵ $2025 ÷ 4 = 506·s·s1$,
∴ 点$M_{2025}$的坐标与点$M_{1}$的坐标相 同,为$(2,1)$.

16. (本题每小题4分,共8分)
(1)计算:$3\tan 30^{\circ} - \sqrt{12} + (\pi - 2025)^{0} + (-2)×\frac{1}{2}$;
(2)先化简,再求值:$(\frac{a^{2}}{a - 1} - a - 1)÷\frac{a}{a^{2} - 1}$,其中$a = 2$.

答案： 16
(1)原式 = $3 × \frac{\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{3} + 1 - 1$ = $\sqrt{3}-2\sqrt{3}$ (2 分) = $-\sqrt{3}$. (3 分)
(2)原式 = $[\frac{a^{2}}{a - 1}-\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}] ÷ \frac{a}{a^{2} - 1}$ = $\frac{1}{a - 1} · \frac{(a + 1)(a - 1)}{a}$ (2 分) = $\frac{a + 1}{a}$ (2 分) 当$a = 2$时,原式 = $\frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$. (4 分)