《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

15. (2025内江)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 45^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,$AB = 2\sqrt{2}$,点$D$,$E$,$F$分别是边$BC$,$AB$,$AC$上的动点,则$\triangle DEF$周长的最小值是$2\sqrt{3}$.

答案：
15 $2\sqrt{3}$ [解析]如图,作点D关于AB,AC的对称点N,M,连接AM,AN,EN,FM,MN,AD,则$EN = DE,FM = FD,\therefore \triangle DEF$的周长$= DE + EF + FD = NE + EF + FM\geq MN$，当N,E,F,M四点共线时取等号.$\because N,M$是点D关于AB,AC的对称点，$\therefore \angle1 = \angle2,\angle3 = \angle4,AN = AD = AM$.又$\because \angle2 + \angle3 = 45°,\therefore \angle NAM = \angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 = 90°,\therefore \triangle AMN$是等腰直角三角形，$\therefore MN = \sqrt{2}AN = \sqrt{2}AD$.易知当$AD\perp BC$时，AD取得最小值，即$\triangle DEF$的周长最小.$\because \angle B = 60°,AB = 2\sqrt{2},\therefore AD$的最小值为$AB·\sin60° = 2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6},\therefore \triangle DEF$周长的最小值为$\sqrt{2}×\sqrt{6}=2\sqrt{3}$.

16. (本题每小题4分,共8分)
(1) (2025河南)计算:$\sqrt[3]{8}+(\pi - 1)^{0}-\sqrt{3}×\sqrt{3}$.
(2) (2025福建)先化简,再求值:$(2+\frac{1 - a}{a})÷\frac{a^{2}+2a + 1}{a}$,其中$a=\sqrt{5}-1$.

答案： 16
(1)原式$= 2 + 1 - 3$ (3分)
$= 0$. (4分)
(2)原式$=\frac{2a + 1 - a}{a}·\frac{a}{a² + 2a + 1}$
$=\frac{a + 1}{a}·\frac{a}{(a + 1)²}$
$=\frac{1}{a + 1}$. (3分)
当$a = \sqrt{5} - 1$时，原式$=\frac{1}{\sqrt{5} - 1 + 1}=\frac{\sqrt{5}}{5}$. (4分)

17. (本小题满分8分)
(2025河南)如图,四边形$ABCD$是平行四边形,以$BC$为直径的圆交$AD$于点$E$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心$O$(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若点$E$是$AD$的中点,连接$OA$,$CE$.求证:四边形$AOCE$是平行四边形.

答案：
17
(1)如图
(1)，点O即为所求. (4分)


(2)证明：如图
(2).
∵四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD = BC,AE// OC$.
点E是AD的中点，$\therefore AE = \frac{1}{2}AD$.
$\because OC = \frac{1}{2}BC,\therefore AE = OC,\therefore$四边形AOCE是平行四边形. (8分)

18. (本小题满分8分)
(2025河南)为助力乡村振兴,支持惠农富农,某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元;4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元.
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价.
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱,且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.求该公司最少需花费多少元.

答案： 18
(1)设甲种苹果每箱的售价为$x$元，乙种苹果每箱的售价为$y$元.
根据题意，得$\begin{cases}2x + 3y = 440\\4x + 5y = 800\end{cases}$，解方程组，得$\begin{cases}x = 100\\y = 80\end{cases}$.
答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元. (4分)
(2)设购买甲种苹果$a$箱，则购买乙种苹果$(12 - a)$箱，设该公司需花费$w$元，
根据题意，得$w = 100a + 80(12 - a)=20a + 960$.
根据题意，得$12 - a\leq a$，解得$a\geq6$.
$\because20＞0,\therefore w$随$a$的增大而增大，
$\therefore$当$a = 6$时，$w$有最小值，$w_{最小}=20×6 + 960 = 1080$.
答：该公司最少需花费1080元. (8分)