《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. （本小题满分9分）
在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究.
动手操作：
第一步，画出等腰三角形$ABC$，使得$AB = AC = 3$.
第二步，作出$\triangle ABC$关于$AC$对称的$\triangle AB'C$.
第三步，过点$A$作$BC$的平行线，交直线$B'C$于点$D$.
第四步，分别以$AB$，$AD$为边作$□ ABED$.
根据以上操作，甲、乙、丙三位同学各自作出了如图所示的三个图形，并共同进行了探究. 请你根据三位同学作出的图形解决下列问题.
（1）直接写出图（1）中$\angle BAC$的度数；
（2）图（2）、图（3）中均有$\triangle AB'D \cong \triangle DEC$，请就图（2）给出证明；
（3）图（3）中$BC = 4$，求出$AD$的长.

答案：
（1）$\angle BAC = 60^{\circ}$
解法提示：$\because\triangle ABC$与$\triangle AB'C$关于$AC$对称，$\therefore AB = AD$.
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD = BC$，
$\therefore BC = AB = AC$，$\therefore$三角形$ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle BAC = 60^{\circ}$.
（2）证明：$\because$四边形$ABED$是平行四边形，
$\therefore AD = BE$，$AD// BE$，
$\therefore\angle DAC=\angle BCA$，$\angle ADB'=\angle DCE$.
$\because\triangle ABC$与$\triangle AB'C$关于$AC$对称，
$\therefore B'C = BC$，$\angle BCA=\angle DCA$，$\therefore\angle DCA=\angle DAC$，
$\therefore DC = AD = BE$，$\therefore B'D = CE$.
在$\triangle AB'D$和$\triangle DEC$中，
$\begin{cases}AD = DC,\\\angle ADB'=\angle DCE,\\B'D = CE,\end{cases}$
$\therefore\triangle AB'D\cong\triangle DEC(SAS)$.
（3）如图，过点$A$作$AF\perp BC$，垂足为$F$.

$\because AB = AC = 3$，$BC = 4$，
$\therefore\angle B=\angle ACB$，$BF = FC = 2$（依据：等腰三角形“三线合一”），
$\therefore AF=\sqrt{AC^{2}-FC^{2}}=\sqrt{5}$.
由（2）知$\triangle AB'D\cong\triangle DEC$，$\therefore AD = CD$.
过点$D$作$DG\perp BC$交$BC$的延长线于$G$，又$\because AD// FG$，
$\therefore$四边形$AFGD$是平行四边形（依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
又$\because\angle G = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AFGD$是矩形（依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形），$\therefore DG = AF=\sqrt{5}$.
设$AD = x$，则$CD = x$，$FG = x$，
$\therefore CG = FG - FC = x - 2$.
在$Rt\triangle DCG$中，由勾股定理，得$CG^{2}+DG^{2}=CD^{2}$，
即$(x - 2)^{2}+(\sqrt{5})^{2}=x^{2}$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$AD=\frac{9}{4}$.

21. （本小题满分10分）
如图，等腰直角三角形$ABC$内接于$\odot O$，点$D$是线段$OB$上异于$O$，$B$的一点，连接$CD$并延长交$\odot O$于点$E$，点$P$在$AB$的延长线上，$PD = PE$.
（1）求证：$PE$是$\odot O$的切线；
（2）若$BD = 3OD$，求$\frac{PB}{PE}$的值.

答案：
（1）证明：如图，连接$OC$，$OE$.

$\because\odot O$是等腰直角三角形$ABC$的外接圆，$O$为$AB$的中点，
$\therefore OC = OE$，$\angle COB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle OED=\angle OCD$.
$\because PD = PE$，$\therefore\angle PED=\angle PDE$.
$\because\angle PDE=\angle ODC$，$\therefore\angle PED=\angle ODC$.
在$Rt\triangle COD$中，$\angle OCD+\angle ODC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle OEP=\angle OED+\angle PED=\angle OCD+\angle ODC = 90^{\circ}$，
$\therefore OE\perp PE$.
$\because OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore PE$是$\odot O$的切线.
（2）设$OD = a$，则$BD = 3OD = 3a$，
此时$OE = OB = 4a$.
由（1）知，$\triangle POE$是直角三角形.
由勾股定理可得$PE^{2}+OE^{2}=PO^{2}$.
$\because PE = PD = PB + BD$，
$\therefore(PB + BD)^{2}+OE^{2}=(PB + OB)^{2}$，
即$(PB + 3a)^{2}+(4a)^{2}=(PB + 4a)^{2}$，解得$PB=\frac{9a}{2}$，
$\therefore PE=\frac{9a}{2}+3a=\frac{15a}{2}$，
$\therefore\frac{PB}{PE}=\frac{\frac{9a}{2}}{\frac{15a}{2}}=\frac{3}{5}$.