《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. (本小题满分9分)
在我国,端午节作为传统佳节,历来有吃粽子的习俗.某食品加工厂拥有$A$,$B$两条不同的粽子生产线,$A$生产线每小时加工粽子400个,$B$生产线每小时加工粽子500个.
(1)若生产线$A$,$B$一共加工11小时,且加工粽子总数量不少于5000个,则$B$生产线至少加工多少小时?
(2)原计划$A$,$B$生产线每天均工作8小时.由于改进了生产工艺,在实际加工过程中,$A$生产线每小时比原计划多加工$100a$个$(a ＞ 0)$,$B$生产线每小时比原计划多加工100个.若$A$生产线每天比原计划少工作$2a$小时,$B$生产线每天比原计划少工作$a$小时,这样一天恰好加工粽子6000个,求$a$的值.

答案： 名师教审题
实际应用题系列
题干①:……生产线A,B一共加工11小时,且加工粽子总数量不少于5000个……
提取信息:A生产线加工时长+B生产线加工时长 = 11小时,A生产线加工速度×A生产线加工时长+B生产线加工速度×B生产线加工时长≥5000个.
题干②:……在实际加工过程中,A生产线每小时比原计划多加工100a个(a ＞ 0),B生产线每小时比原计划多加工100个……
提取信息:实际A生产线每小时加工(400 + 100a)个,B生产线每小时加工600个.
题干③:……若A生产线每天比原计划少工作2a小时,B生产线每天比原计划少工作a小时……
提取信息:A生产线每天工作(8 - 2a)小时,B生产线每天工作(8 - a)小时.
(1)设B生产线加工x小时,则A生产线加工(11 - x)小时,
根据题意,得500x + 400(11 - x)≥5000,
解得x≥6.
答:B生产线至少加工6小时. (4分)
(2)根据题意,得(400 + 100a)(8 - 2a)+(500 + 100)(8 - a)=6000,
整理得$a^2 + 3a - 10 = 0$,
解得$a_1 = 2$,$a_2 = - 5$(不符合题意,舍去).
故a的值为2. (9分)

21. (本小题满分10分)
新素材 臂架泵车 臂架泵车(如图(1))是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆,集混凝土泵送、臂架伸展和移动功能于一体,广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景.图(2)是其输送原理平面图,进料口$A$到建筑楼的水平距离为24米,到地面的垂直距离为2米,$AB$,$BC$,$CD$,$DE$为输送臂,可绕$A$,$B$,$C$,$D$旋转,已知输送臂$AB$垂直地面且$AB = 14$米,$BC = CD = 13$米,$DE = 7$米,$\angle BCD = 134.8^{\circ}$,$\angle CDE = 112.6^{\circ}$.
(1)$BD$的长约为24米;(直接写出答案)
(2)求出料口到地面的距离.
(参考数据:$\sin67.4^{\circ}\approx\frac{12}{13}$,$\cos67.4^{\circ}\approx\frac{5}{13}$,$\sin56.3^{\circ}\approx\frac{41}{50}$,$\cos56.3^{\circ}\approx\frac{11}{20}$)

答案：

(1)24米 (4分)
解法提示:如图,过点C作CM⊥BD,垂足为M.
∵∠BCD = 134.8°,BC = CD = 13米,
∴∠BCM = $\frac{1}{2}$∠BCD = 67.4°,BM = DM,
∴BM = BCsin∠BCM = BCsin67.4°≈$13 × \frac{12}{13} = 12$(米),
∴BD = 2BM = 24米.

(2)
∵∠BCD = 134.8°,BC = CD,
∴∠CDB = 22.6°.
又
∵∠CDE = 112.6°,
∴∠BDE = 90°. (6分)
如图,过点B作BP⊥EP,垂足为P,则BP = 24米.点P到地面的距离为14 + 2 = 16(米).
由
(1)知BD = 24米,
∴BP = BD.
在Rt△EDB和Rt△EPB中,
$\begin{cases} BD = BP, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴Rt△EDB≌Rt△EPB(HL),
∴PE = DE = 7米,
∴出料口到地面的距离为7 + 16 = 23(米). (10分)