《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

18. (本小题满分8分)
如图,四边形ABCD是平行四边形,进行如下操作:
第一步,以点B为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB和BC于点P,Q,分别以点P,Q为圆心,大于$\frac{1}{2}$PQ的长为半径画弧,两弧交于点H,作射线BH交边AD于点E;
第二步,分别以点A,E为圆心,大于$\frac{1}{2}$AE的长为半径画弧,两弧交于M,N两点,作直线MN交边AD于点F,连接CF,交BE于点G.
(1) 请确定线段EF与AB的数量关系,并证明你的结论;
(2) 若CD = 4DE,求$\frac{FG}{GC}$的值.

答案：
(1)$EF = \frac{1}{2}AB$. (1分)
证明:由题意知$BE$平分$\angle ABC$,$\therefore \angle ABE = \angle CBE$.
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD // BC$,$AD = BC$,$\therefore \angle AEB = \angle CBE$,$\therefore \angle AEB = \angle ABE$,$\therefore AE = AB$.
由题意知$MN$垂直平分线段$AE$,$\therefore EF = \frac{1}{2}AE$,$\therefore EF = \frac{1}{2}AB$. (4分)
(2)设$DE = x$,则$CD = 4DE = 4x$.
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AB = CD$.
由
(1)知$AE = AB$,$\therefore AE = AB = CD = 4x$,$\therefore EF = \frac{1}{2}AE = 2x$,$BC = AD = AE + DE = 5x$.
$\because AD // BC$,$\therefore \angle FEG = \angle CBG$,$\angle EFG = \angle BCG$,$\therefore \triangle FGE \backsim \triangle CGB$(点拨:“8”字型相似模型),$\therefore \frac{FG}{GC} = \frac{EF}{BC} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$. (8分)

19. (本小题满分9分)
新情境 机械手臂的操作 学校科研小组制作了一款机械手臂如图(1)所示,由上臂、中臂和底座三部分组成,其中上臂和中臂可自由转动,底座与水平地面垂直. 在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内,其示意图如图(2)所示,经测量,上臂AB = 12cm,中臂BC = 10cm,底座CD = 4cm.
(1) 若上臂AB与水平面平行,∠ABC = 60°,计算点A到地面的距离(保留根号);
(2) 在一次操作中,平台上有一高度为6cm的模具MN,如图(3),点A恰好与点N重合,此时测得中臂与底座成143°夹角,请计算此时上臂与中臂夹角∠ABC的大小. (参考数据:sin37° ≈ 0.6,cos37° ≈ 0.8,tan37° ≈ 0.75)

答案：

(1)如图
(1),过点$C$作$CP \perp AB$,垂足为$P$,则$\angle BPC = 90^{\circ}$.
巧作辅助线构造直角三角形

由题意知,$CD$与水平面垂直,$\therefore P$,$C$,$D$三点共线.
$\because \angle ABC = 60^{\circ}$,$BC = 10 cm$,$\therefore CP = BC \sin 60^{\circ} = 10 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}( cm)$,$\therefore DP = CP + CD = (5\sqrt{3} + 4) cm$,即点$A$到地面的距离为$(5\sqrt{3} + 4) cm$. (4分)
(2)如图
(2),过点$B$作$EF$平行于地面,延长$MA$,$DC$,分别交$EF$于点$E$,$F$,则四边形$EFDM$是矩形,$\therefore DF = EM$.
巧作辅助线构造直角三角形

由题意知$\angle BCD = 143^{\circ}$,$\therefore \angle BCF = 37^{\circ}$,$\angle CBF = 53^{\circ}$,$\therefore \cos \angle BCF = \frac{CF}{BC} \approx 0.8$,即$\frac{CF}{10} \approx 0.8$,$\therefore CF \approx 8 cm$,$\therefore DF = CF + CD = 12 cm$,$\therefore EM = 12 cm$,$\because \sin \angle ABE = \frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$,$\therefore \angle ABE = 30^{\circ}$,$\therefore \angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 53^{\circ} = 97^{\circ}$. (9分)