《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

24. （本小题满分12分）
二次函数$y = x^{2} + bx + c$的图象经过$A(3,1)$，$B(0, - 2)$两点，顶点为$G$。
(1)求二次函数的表达式和顶点$G$的坐标。
(2)如图(1)，将二次函数$y = x^{2} + bx + c$的图象沿$x$轴正方向平移$n$（$n ＞ 0$）个单位长度得到一个新函数的图象，当$0 \leq x \leq 3$时，新函数的最大值是8，求$n$的值。
(3)如图(2)，将二次函数$y = x^{2} + bx + c$的图象沿直线$AB$向上平移，点$A$，$G$的对应点分别为$A'$，$G'$，连接$AG'$，$A'G$，线段$AG'$与$A'G$交于点$M$。若$\tan \angle BMG = \frac{1}{3}$，请直接写出点$G'$的坐标。

答案： 24
(1)将$A(3,1),B(0,-2)$分别代入$y = x^{2}+bx + c$,
得$\begin{cases}9 + 3b + c = 1,\\c=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-2,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 2$.
方法一:$\therefore$二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2×1}=1$.
对于$y = x^{2}-2x - 2$,当$x = 1$时,$y=-3$,
$\therefore$顶点 G 的坐标为$(1,-3)$.
方法二:$\because y = x^{2}-2x - 2=(x - 1)^{2}-3$(点拨:一般式化成顶点式),
$\therefore$顶点 G 的坐标为$(1,-3)$.
(2)根据题意,可得新函数图象的表达式为$y=(x - 1 - n)^{2}-3$(点拨:水平平移时,n 值变化为“左”加“右”减),
$\therefore$新函数图象的对称轴为直线$x = n + 1$.

25. (本小题满分12分)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$BC = 8$，点$O$为$AC$的中点。在$Rt\triangle DBE$中，$\angle DBE = 90^{\circ}$，$DB = 3$，$BE = 4$，连接$EO$并延长到点$F$，使$OF = EO$，连接$AF$。
初步感知：
(1)如图(1)，当点$D$，$E$分别在$AB$，$BC$上时，请完成填空：$\angle DAF =$$^{\circ}$；$\frac{AD}{AF} =$。
深入探究：
(2)如图(2)，若将图(1)中的$\triangle DBE$绕点$B$按逆时针方向旋转一定的角度$\alpha$($0^{\circ} ＜ \alpha ＜ 90^{\circ}$)，连接$AD$，$CE$，$AE$，$CF$。
①(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由。
②当四边形$AECF$的面积最小时，求线段$AD$的长。

答案：
(1)90；$\frac{3}{4}$；
(2)①成立；②$\frac{3\sqrt{65}}{5}$