《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

18. (本题12分)
如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$,$G$分别是边$AB$,$AC$,$BC$的中点,$DE$与$AG$相交于点$F$,连接$CF$,$AG = AC$.
证明:(1)$\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$;
(2)$\triangle ADF\cong\triangle CFE$.

答案： 18. 证明：
(1)$\because D$，$E$分别是边$AB$，$AC$的中点，$\therefore DE$是$\triangle ABC$的中位线，$\therefore DE// BC$（依据：三角形中位线定理），
$\therefore\triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\triangle ADF\sim\triangle ABG$（点拨：“A”字相似模型），$\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，$\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}$.
(2)$\because AG = AC$，$\therefore\angle AGC = \angle ACG$.
$\because DE// BC$，$\therefore\angle AFE = \angle AGC$，$\angle AEF = \angle ACG$，$\therefore\angle AFE = \angle AEF$，$\therefore\angle AFD = \angle CEF$.
由
(1)可得$\frac{AF}{AG}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，$\therefore AF=\frac{1}{2}AG$，$DF=\frac{1}{2}BG$.
又$CE=\frac{1}{2}AC$，$AG = AC$，$\therefore AF = CE$.
$\because F$为$AG$的中点，$E$为$AC$的中点，$\therefore EF=\frac{1}{2}CG$.
又$BG = CG$，$\therefore DF = EF$.
$\therefore\triangle ADF\cong\triangle CFE(SAS)$.

19. (本题12分)
为培育玉米新品种,研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究,分别随机选取40株玉米测量其株高,整理数据如下.
【数据收集】

【数据整理】
把数据分为5组,制成如下频数分布表.(用$h$表示株高,$40\ cm\leqslant h\leqslant60\ cm$)

(1) 你赞同下面小亮的观点吗? 请说明你的理由.

【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图.

(2) 补全试验田频数直方图并计算对照田$D$组所占圆心角的度数.
(3) 已知此生长期的玉米株高$h$满足$48\ cm\leqslant h ＜ 56\ cm$为长势良好.比较以上两个统计图,写出图中蕴含的信息.(一条即可)
【数据分析】
对收集的数据进行分析,得出的统计量如下表:

(4) 根据(3)中“长势良好”的标准及以上信息,评估此生长期试验田的玉米生长情况.

答案：
19.
(1)不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20.若分成5组，则组距为4是合适的.若分成10组，则组距为2，不仅复杂，而且会使某些组的频数为0，相近的数据分散到其他组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
(2)补全试验田频数直方图如图所示.

对照田$D$组所占圆心角的度数为$360^{\circ}×35\%=126^{\circ}$.
(3)试验田玉米株高$h$满足$48cm\leq h＜56cm$的有$15 + 11 = 26$(株)，对照田玉米株高$h$满足$48cm\leq h＜56cm$的有$6 + 14 = 20$(株)，$26＞20$，$\therefore$此生长期试验田的玉米比对照田的玉米长势更好.(答案不唯一，合理即可)
(4)由
(3)可得试验田玉米的良好率比对照田玉米的良好率占比高，从方差角度看，此生长期试验田的玉米的株高比较均匀；中位数、众数、平均数均在$48cm$到$56cm$的范围内.$\therefore$试验田的玉米整体长势较好.