《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. （本题满分8分）
2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统. 已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比购买4盏乙种路灯的费用少140元.
(1) 求甲、乙两种路灯的单价；
(2) 该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的$\frac{1}{3}$，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.

答案： 20 名师教审题
实际应用题系列
题干①: $·s ·s$ 已知购买 1 盏甲种路灯和 2 盏乙种路灯共需 220 元, 购买 3 盏甲种路灯比购买 4 盏乙种路灯的费用少 140 元 $·s ·s$
提取信息: 1 $×$ 甲种路灯的单价 + 2 $×$ 乙种路灯的单价 = 220 元, 3 $×$ 甲种路灯的单价 + 140 元 = 4 $×$ 乙种路灯的单价.
题干②: $·s ·s$ 购买甲、乙两种路灯共 40 盏, 且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 $\frac{1}{3} ·s ·s$
提取信息: 甲种路灯的盏数 + 乙种路灯的盏数 = 40 盏, 甲种路灯的盏数 $\leq \frac{1}{3} ×$ 乙种路灯的盏数.
(1) 设甲、乙两种路灯的单价分别为 $x$ 元, $y$ 元,
根据题意, 得 $\begin{cases} x + 2y = 220, \\ 3x + 140 = 4y, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x = 60, \\ y = 80. \end{cases}$
答: 甲、乙两种路灯的单价分别为 60 元、80 元. (3 分)
(2) 设购买甲种路灯 $m$ 盏, 则购买乙种路灯 $(40 - m)$ 盏,
根据题意, 得 $m \leq \frac{1}{3}(40 - m)$,
解得 $m \leq 10$. (5 分)
设所需费用为 $w$ 元,
根据题意, 得 $w = 60m + 80(40 - m) = -20m + 3200$.
$\because -20 ＜ 0$, $m \leq 10$,
$\therefore$ 当 $m = 10$ 时, $w$ 取得最小值, 此时 $40 - m = 40 - 10 = 30$.
答: 购买甲种路灯 10 盏, 购买乙种路灯 30 盏, 可使所需费用最少. (8 分)

21. （本题满分9分）
【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务. 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图(1)，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
(2) 若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：$\sin 37^{\circ}\approx 0.60$，$\cos 37^{\circ}\approx 0.80$，$\tan 37^{\circ}\approx 0.75$，$\sin 14^{\circ}\approx 0.24$，$\cos 14^{\circ}\approx 0.97$，$\tan 14^{\circ}\approx 0.25$）.

答案：
21
(1) 如图, 过点 $B$ 作 $BE \perp AC$ 于点 $E$.

巧作辅助线: 作垂线, 构造直角三角形
设 $BE = x$ 海里.
依题意, 得 $\angle EBC = 53^{\circ}$, $\angle EBD = 45^{\circ}$, $CD = 10 × \frac{1}{2} = 5$ (海里),
$\therefore \angle C = 90^{\circ} - \angle EBC = 37^{\circ}$, $ED = BE = x$ 海里,
$\therefore EC = ED + CD = (x + 5)$ (海里).
在 $Rt \triangle BCE$ 中, $\tan C = \frac{BE}{EC}$, $\angle C = 37^{\circ}$,
$\therefore \frac{x}{x + 5} \approx 0.75$, 解得 $x \approx 15$ (已检验, 且符合题意).
故渔船在航行过程中到灯塔 $B$ 的最短距离约为 15 海里. (4 分)
(2) 在 $Rt \triangle ABE$ 中, $\angle ABE = 14^{\circ}$, $BE = 15$ 海里,
$\therefore AE = BE \tan 14^{\circ} \approx 15 × 0.25 = 3.75$ (海里),
$\therefore AC = AE + DE + CD = 3.75 + 15 + 5 = 23.75$ (海里), $23.75 ÷ 10 = 2.375$ (小时) $= 142.5$ (分钟)
从 $14:30$ 经过 142.5 分钟是 $16:52:30$, 能在 $17:30$ 之前到达, $\therefore$ 不改变航行速度, 渔船能在浓雾到来前到达码头 $A$. (9 分)