《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

23. （本题满分8分）
某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价$x$（元/个）与每天销售量$y$（个）的对应值表格如下：

（1）求出$y$与$x$的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
（2）当售价定为多少元/个时，每天的利润可达到6000元？

答案： 23
(1)由题意可知，y是x的一次函数（点拨：售价每上涨1元，每天的销售量减少20个）.
设y与x的函数表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$，
把$(52,760)$，$(53,740)$分别代入，
得$\begin{cases} 760 = 52k + b \\ 740 = 53k + b \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = -20 \\ b = 1800 \end{cases}$，
$\therefore y$与x的函数表达式为$y = -20x + 1800(50 \leq x \leq 75)$. (4分)
(2)根据题意，得$(x - 50)y = 6000$，
$\therefore (x - 50)(-20x + 1800) = 6000$，
整理，得$x^2 - 140x + 4800 = 0$，
解得$x_1 = 60$，$x_2 = 80$.
$\because 50 \leq x \leq 75$(易错点：忽略x的取值范围，从而认为x可以为80)，$\therefore x = 60$.
答：当售价定为60元/个时，每天的利润可达到6000元. (8分)

24. (本题满分10分)
(1)探索发现
东营市全面落实国家课程方案.某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，折叠$\triangle ABC$，使$AC$边落在$AB$边上，折痕为$AD$，则$BD$，$CD$与$\angle BAC$的两边$AB$，$AC$存在着某种关系.
如图(1)，请你帮助项目组判断$\frac{AB}{AC}$与$\frac{BD}{CD}$的数量关系：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$(或相等).
(2)猜想验证
项目组猜想：当$\triangle ABC$为任意三角形时，上述数量关系仍然成立.为了验证这一猜想，项目组按照(1)中的方法折叠，$AD$为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形.请选择任意一

种

方案证明.

(3)拓展应用
如图(5)，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，$E$为$BC$延长线上一点，$AE = DE$.
求证：$\frac{BD}{CD} = \frac{DE}{CE}$.

答案：
24 名师教审题
几何综合题系列
(3)拓展应用
如图
(5)，在$\triangle ABC$中，AD平分$\angle BAC$交BC于点D，E为BC延长线上一点，$AE = DE$.
审①：联想
(2)中结论，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
审②：$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$可变形为$\frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{CE}$，从而将问题转化为证$\triangle ABE \sim \triangle CAE$
求证：$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$
(1)$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$(或相等) (3分)
(2)项目1组方案：
证明：如图
(1).
$\because DE // AC$，
$\therefore \angle 2 = \angle 3$，$\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AE}$(依据：平行线分线段成比例).
又$\because \angle 1 = \angle 2$，$\therefore \angle 1 = \angle 3$，$\therefore AE = DE$，$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BE}{DE}$.
$\because DE // AC$，$\therefore \triangle BDE \sim \triangle BCA$(点拨：“A”字型相似模型).
$\therefore \frac{BE}{DE}=\frac{AB}{AC}$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ (7分)
项目2组方案：
证明：如图
(2).
$\because CE // AD$，$\therefore \angle 1 = \angle 3$，$\angle 2 = \angle 4$.
又$\because \angle 1 = \angle 2$，$\therefore \angle 3 = \angle 4$，$\therefore AE = AC$.
$\because CE // AD$，$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$，即$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ (7分)
项目3组方案：
证明：$\because CF \perp AD$，$BE \perp AD$，
$\therefore \angle AFC = \angle CFD = \angle BED = 90^{\circ}$.
又$\because \angle 1 = \angle 2$，$\therefore \triangle ABE \sim \triangle ACF$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CF}$.
$\because \angle BDE = \angle CDF$，$\angle BED = \angle CFD$，
$\therefore \triangle BDE \sim \triangle CDF$(提示：“X”型相似模型)，
$\therefore \frac{BE}{CF}=\frac{BD}{CD}$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ (7分)
(注：选择一种方案证明即可)
(3)证明：如图
(3).
$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
$\because AE = DE$，$\therefore \angle 3 = \angle DAE$，
$\therefore \angle B + \angle 1 = \angle 2 + \angle 4$，$\therefore \angle B = \angle 4$.
又$\because \angle BEA = \angle AEC$，
$\therefore \triangle ABE \sim \triangle CAE$(点拨：反“A”共角共边型相似)，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{CE}$，$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AE}{CE}$.
又$\because AE = DE$，$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{DE}{CE}$ (10分)