《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

22. (本题13分)
黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域,我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割.中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》(如图(1))就是用黄金分割比作为主题设计的.

【阅读观察】

【思考探究】
(1) 说明图(3)中$\frac{AC}{AB}=\varphi$.
(2) 用不同于(1)的方法,说明图(4)中$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
【迁移拓展】
如图(5),作圆内接正五边形:
①作$\odot O$的两条互相垂直的半径$OA$和$OM$,取$OM$的中点$N$,连接$AN$;
②作$\angle ONA$的平分线,交$OA$于点$K$;
③过点$K$作$OA$的垂线,交$\odot O$于点$B$,$E$,连接$AB$,$AE$;
④截取$BC = BA$,$CD = CB$,连接$BC$,$CD$,$DE$.
五边形$ABCDE$即为所求.
(3) 若$OA = 2$,根据以上作法,证明:$AB^{2}=\varphi^{2}· BE^{2}$.

答案：
22.
(1)设$BD = a$，则$AB = 2a$.
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理，得$AD=\sqrt{BD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{5}a$，$\therefore AE = AD - DE = AD - BD = (\sqrt{5}-1)a$，$\therefore AC = AE = (\sqrt{5}-1)a$，$\therefore\frac{AC}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\phi$.
(2)如图
(1)，延长$GC$交$DE$于点$M$.

在$Rt\triangle BAF$中，根据勾股定理，得$AB^{2}=BF^{2}-AF^{2}$，即$AB^{2}=(BF + AF)(BF - AF)$.$\because BF = FH$，$FA = FD$，$\therefore BF + AF = FH + FD = HD$，$BF - AF = FH - AF = AH = HG$，$\therefore AB^{2}=HD· HG$，$\therefore S_{正方形ABED}=S_{矩形HGMD}$，$\therefore S_{矩形CBEM}=S_{正方形AHGC}$，$\therefore CB· BE = AC^{2}$，即$CB· AB = AC^{2}$，$\therefore\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
(3)证明：$\because OM = OA = 2$，点$N$是$OM$的中点，$\therefore ON = 1$，$\therefore AN=\sqrt{ON^{2}+OA^{2}}=\sqrt{5}$.如图
(2)，过点$K$作$KG\perp AN$于点$G$.

$\because NK$平分$\angle ONA$，$OK\perp ON$，$KG\perp NG$，$\therefore OK = KG$（依据：角平分线上的点到角的两边的距离相等），$\thereforeRt\triangle NOK\congRt\triangle NGK(HL)$，$\therefore NG = NO = 1$，$\therefore AG = AN - NG=\sqrt{5}-1$.设$OK = x$，则$KG = x$，$KA = 2 - x$，在$Rt\triangle KAG$中，$KG^{2}+AG^{2}=KA^{2}$，即$x^{2}+(\sqrt{5}-1)^{2}=(2 - x)^{2}$，解得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，连接$OB$，在$Rt\triangle BOK$中，$BK^{2}=OB^{2}-OK^{2}=4-\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$在$Rt\triangle BKA$中，$AB^{2}=BK^{2}+AK^{2}$，$\therefore AB^{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}+(2-\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2}=10 - 2\sqrt{5}$.根据垂径定理，得$BE = 2BK$，$\therefore BE^{2}=4BK^{2}=10 + 2\sqrt{5}$.$\because\phi^{2}=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\therefore\phi^{2}· BE^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}×(10 + 2\sqrt{5})=10 - 2\sqrt{5}$，$\therefore AB^{2}=\phi^{2}· BE^{2}$.