《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A = 60^{\circ}$,$CD$平分$\angle ACB$,$F$为$AC$中点,$E$为$CB$上一点,将$\triangle CEF$沿$EF$折叠,使$C$点落到$G$点处,连接$GB$.当$CD⊥GE$时,$\angle BGE$的度数为 (B)

A.$5^{\circ}$
B.$7.5^{\circ}$
C.$10^{\circ}$
D.$15^{\circ}$

答案：
9B 易知$\angle ACB = 30°$.如图,连接BF,
∵F为AC的中点,
∴BF = $\frac{1}{2}$AC = CF(依据:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴$\angle CBF = \angle FCB = 30°$.
∵CD平分$\angle ACB$,
∴$\angle BCD = \frac{1}{2}\angle ACB = 15°$.又
∵$\angle CPE = 90°$,
∴$\angle CEP = 90° - 15° = 75°$.由折叠可知$\angle CEF = \frac{1}{2}\angle CEP = 37.5°$,$\angle EFG = \angle EFC$,$\angle FGE = \angle FCE = 30°$,
∴$\angle BFE = \angle CEF - \angle CBF = 7.5°$(依据:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),$\angle EFC = 180° - 30° - 37.5° = 112.5°$,
∴$\angle EFG = 112.5°$,
∴$\angle BFG = \angle EFG - \angle EFB = 105°$.又BF = GF,
∴$\angle BGF = \frac{1}{2} × (180° - 105°) = 37.5°$,
∴$\angle BGE = \angle BGF - \angle FGE = 7.5°$.

名师讲方法
高分技法解决折叠问题的方法
1.掌握折叠的性质:
①位于折痕两侧的图形(折叠后重合的图形)关于折痕所在直线对称;
②位于折痕两侧的图形(折叠后重合的图形)全等,对应边、对应角、对应线段、周长、面积等分别相等;
③对应点的连线被折痕所在直线垂直平分.
2.找出隐含的折叠前后的位置关系(平行或垂直)和数量关系(相等).
3.一般运用全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想,设出恰当的未知数,解方程来求线段长.

10. 在知识问答竞赛中,答对一题加1分,答错一题减1分,每道题必须作答.已知王明共答题20道,得分10分;李红共答题15道,那么两位同学答对与答错题目的差相加可能是 (B)

A.10
B.15
C.20
D.35

答案： 10B 设王明答对了x道,则答错了(20 - x)道,根据题意,得x - (20 - x) = 10,解得x = 15,则20 - x = 5,
∴王明答对与答错题目的差为15 - 5 = 10.设李红答对了m道,答错了n道,则m + n = 15,由15为奇数可知,m - n一定为奇数,
∴10+(m - n)一定为奇数,故排除A,C选项.
∵李红共答题15道,
∴m - n≤15,
∴李红答对与答错题目的差为15,
∴10+(m - n)=10 + 15 = 25,
∴排除D选项.
∴两位同学答对与答错题目的差相加可能是15.

11. 若代数式$\sqrt{1 - a}$在实数范围内有意义,则$a$的取值范围是a≤1.

答案： a≤1

12. 若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+2x + 1 = 0$有实数根,则$k$的取值范围是k≤1且k≠0.

答案： k≤1且k≠0

13. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则$\angle 1+\angle 2+\angle 3=$135°.

答案： 135°

14. 如图,$\triangle ABO$为等边三角形,$A$,$B$在$\odot O$上,$AO = 1$,$P$为$\odot O$上一动点,$C$为$BP$的中点,当$P$在$\odot O$上运动时,$AC$的最小值为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

15. 一条笔直的公路上有$A$,$B$,$C$三地,已知$A$,$B$两地相距200km,$C$在$A$,$B$之间,早上8时甲车从$A$地匀速出发,10时到达$C$地,在休整一小时后保持原速继续前往$B$地;乙车早上9时从$B$地匀速出发前往$A$地,中途汽车发生故障,维修后保持原速继续前往$A$地,如图(1)、图(2)分别代表甲、乙两车距$B$地的距离与时间的图象,图(3)为两车相遇前两车之间的距离与时间的图象,下列说法中正确的是②③(请填写序号).
①$v_{甲}=\frac{100}{3}km/h$,$v_{乙}=60km/h$;②$t_{1}=3.6$;③乙车修车正好用去1小时;④甲车比乙车先到达目的地.

答案：
②③
名师教解题
由题干得到的信息,标注在图上如图所示:

【解析】逐个分析如下:
序号 分析 正误
由题意可知,甲车从A地到B地共行驶了5小时.
∵A,B两地相距200km,
∴甲车的速度为200÷5 = 40(km/h).
∵乙车从9时出发,10时开始修车,
∴乙车在修车前行驶了1h,且行驶的路程为60km,
∴乙车的行驶速度是$\frac{60}{1}=60$(km/h). ×
由题图
(3)可知,从甲车出发到甲、乙两车相遇用了$t_1$h,
∴甲车行驶的路程为40($t_1$-1)km,乙车行驶的路程为60($t_1$-2)km,根据题意,得40($t_1$-1)+60($t_1$-2)=200,解得$t_1$ = 3.6. √
③结合上述可知乙车修车正好用去1小时. √
由①②可知,甲、乙两车相遇后,甲距离目的地96km,还需$\frac{96}{40}$ = 2.4(h),乙距离目的地104km,还需$\frac{104}{60} \approx 1.73$(h),所以乙车比甲车先到达目的地. ×

16. (本题每小题4分,共8分)
(1)计算:$(-2)^{-1}+2\tan60^{\circ}-\sqrt{27}+(\pi - 3.14)^{0}$;
(2)先化简,再求值:$(\frac{1}{x - 1}-\frac{3}{x^{2}-1})÷\frac{x^{2}-4}{x - 1}$,请在$-2$,$-1$,$1$,$2$,$3$这五个数中选择一个你认为最适的数代入求值.

答案：
(1)原式=$-\frac{1}{2} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 1 = \frac{1}{2} - \sqrt{3}$. (2分)
=$\frac{1}{2} - \sqrt{3}$. (4分)
(2)原式=$\frac{x + 1 - 3}{(x - 1)(x + 1)} · \frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}$
=$\frac{x - 2}{(x - 1)(x + 1)} · \frac{x - 1}{(x + 2)(x - 2)}$
=$\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$. (2分)
∵x≠ - 2, - 1,1,2,
∴x的值取3.
当x = 3时,原式=$\frac{1}{(3 + 1)(3 + 2)} = \frac{1}{20}$. (4分)