《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

9. 下列命题的逆命题是真命题的是(D)

A.如果$a ＞ b$，那么$ac ＞ bc$
B.如果$a = b = 0$，那么$ab = 0$
C.如果$a ＞ b$，那么$a^{2} ＞ b^{2}$
D.如果$|a| = |b|$，那么$a = b$

答案： 9 D 逐项分析如下，故选D.
选项 分析 是否符合题意
逆命题为：如果$ac ＞ bc$，那么$a ＞ b$. 假设$a = - 2$，$b = - 1$，$c = - 1$，则$ac = 2$，$bc = 1$，$\therefore ac ＞ bc$，但$a ＜ b$. 故逆命题为假命题. 否
逆命题为：如果$ab = 0$，那么$a = b = 0$. 假设$a = 1$，$b = 0$，则$ab = 0$，但$a\neq b$. 故逆命题为假命题. 否
逆命题为：如果$a^{2}＞b^{2}$，那么$a ＞ b$. 假设$a = - 2$，$b = 1$，则$a^{2}=4$，$b^{2}=1$，$\therefore a^{2}＞b^{2}$，但$a ＜ b$. 故逆命题为假命题. 否
逆命题为：如果$a = b$，那么$|a| = |b|$. 逆命题为真命题. 是
名师讲方法
高分技法
证明命题真假的常用方法和一般步骤
1 命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），另外，命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断，两个条件缺一不可.
2 证明常用的方法有综合法、分析法和反证法.
3 证明的一般步骤：①审清题意，明确条件和结论；②根据题意画出图形；③根据条件和结论，结合图形，写出已知、求证；④对条件与结论进行分析；⑤根据分析，写出证明过程.
4 证明一个命题为假命题，举出一个反例即可.

10. 新考法 结合代数推理 某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元. 若该社团用2400元购买这两种球(篮球、足球都购买)，且2400元恰好用完，则该社团的购买方案共有(C)

A.1种
B.2种
C.3种
D.4种

答案： 10 C
名师教审题
实际应用题系列
将从题干得到的信息列表如下：
单价 总预算 购买要求
篮球 120元 2400元
足球 150元 篮球、足球都至少购买一个，且恰好用完2400元.
【解析】设购买了$n$个篮球，$m$个足球. 根据题意，得$120n + 150m = 2400$，整理，得$4n + 5m = 80$，且$n$，$m$均为正整数，当$n = 5$时，$m=\frac{80 - 4×5}{5}=12$；当$n = 10$时，$m=\frac{80 - 4×10}{5}=8$；当$n = 15$时，$m=\frac{80 - 4×15}{5}=4$. 综上可知，该社团共有3种购买方案.

11. 代数式$\sqrt{x - 2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是$x\geq2$.

答案： 11 $x\geq2$

12. 若关于$x$的方程$x^{2} + mx - 6 = 0$的一个根是2，则另一个根是$-3$.

答案： 12 $-3$ 【解析】$\because2$是关于$x$的方程$x^{2}+mx - 6 = 0$的一个根，$\therefore2^{2}+2m - 6 = 0$，解得$m = 1$，$\therefore$方程为$x^{2}+x - 6 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-3$，故方程的另一个根是$-3$.
一题多解
已知方程的一个根是2，设另一根是$\alpha$，则$2\alpha=\frac{-6}{1}$（依据：一元二次方程根与系数的关系，$x_{1}· x_{2}=\frac{c}{a}$），$\therefore\alpha = - 3$.

13. 已知直线$y = -x + 2$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，点$P$是$x$轴正半轴上的一点，连接$PB$. 当$\triangle APB$的面积等于4时，直线$PB$的表达式为$y=-\frac{1}{3}x + 2$.

答案： 13 $y=-\frac{1}{3}x + 2$
【解析】易得$A(2,0)$，$B(0,2)$. 设$P(p,0)(p ＞ 0)$，则$AP = |p - 2|$，$\because S_{\triangle APB}=4$，$\therefore\frac{1}{2}|p - 2|×2 = 4$，解得$p_{1}=6$，$p_{2}=-2$（舍去），$\therefore P(6,0)$. 设直线$PB$的表达式为$y = kx + b$，将$P(6,0)$，$B(0,2)$分别代入，得$\begin{cases}0 = 6k + b,\\2 = b.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{3},\\b = 2.\end{cases}\therefore$直线$PB$的表达式为$y=-\frac{1}{3}x + 2$.

14. 如图，将$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转一定角度得到$\triangle ADE$，使点$D$落在$BC$上，$AC$与$DE$相交于点$F$. 若$\angle C = 40^{\circ}$，$DE \perp AC$，则$\angle DAC$的大小为$25^{\circ}$.

答案： 14 $25^{\circ}$
【解析】由旋转的性质可得$\angle BAC=\angle DAE$，$\angle E=\angle C = 40^{\circ}$，$AB = AD$. 易知$\angle AFE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CAE = 90^{\circ}-\angle E = 50^{\circ}$. $\because\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，即$\angle BAD = \angle CAE$，$\therefore\angle BAD = 50^{\circ}$. 又$\because AB = AD$，$\therefore\angle ADB=\frac{180^{\circ}-\angle BAD}{2}=65^{\circ}$，$\therefore\angle DAC=\angle ADB-\angle C = 65^{\circ}-40^{\circ}=25^{\circ}$（依据：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.

15. 新考法 定义“归一变换” 在平面直角坐标系中，若$a$，$b$均为整数，对于点$A(a,b)$，规定：当$a$为奇数时，将其减1后除以2作为点$B$的横坐标，当$a$为偶数时，将其除以2作为点$B$的横坐标；同时对$b$进行和$a$同样的处理作为点$B$的纵坐标. 由点$A$到点$B$这样的坐标变换称为一次“归一变换”. 经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为$(-1,-1)$，$(-1,0)$，$(0,-1)$，$(0,0)$中的一个. 当$a$，$b$均为整数且$|a| \geq 20$，$|b| \geq 20$时，经过数次“归一变换”后最终变换为$(-1,0)$的$(a,b)$是$(-20,20)$（答案不唯一）.(写出一个满足题意的点即可)

答案： 15 $(-20,20)$（答案不唯一）
名师教审题
规律探究题系列
将点$A(a,b)$经过一次“归一变换”，得到点$B(x',y')$的规则如下：
横坐标$x'$的变化规律 横坐标$y'$的变化规律
$a$的奇偶性 变换公式 $b$的奇偶性 变换公式
奇数 $x'=\frac{a - 1}{2}$ 奇数 $y'=\frac{b - 1}{2}$
偶数 $x'=\frac{a}{2}$ 偶数 $y'=\frac{b}{2}$
【解析】$\because a$，$b$均为整数，且$|a|\geq20$，$|b|\geq20$，$\therefore(a,b)$可以为$(20,20)$，$(20, - 20)$，$( - 20,20)$或$( - 20, - 20)$. 若$(a,b)$为$( - 20,20)$，对$( - 20,20)$进行“归一变换”，得$( - 10,10)$，对$( - 10,10)$进行“归一变换”，得$( - 5,5)$，对$( - 5,5)$进行“归一变换”，得$( - 3,2)$，对$( - 3,2)$进行“归一变换”，得$( - 2,1)$，对$( - 2,1)$进行“归一变换”，得$( - 1,0)$，$\therefore$经过数次“归一变换”后，最终变换为$( - 1,0)$的$(a,b)$是$( - 20,20)$（答案不唯一）.

16. （本题每小题4分，共8分）
（1）计算：$\sqrt{12} - 2\tan 60^{\circ} + (\pi - 3)^{0} + |\sqrt{3} - 1|$；
（2）先化简，再求值：$(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}) ÷ \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 4}$，其中$x = 3$.

答案： （1）原式$=2\sqrt{3}-2×\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1$
$=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1$
$=\sqrt{3}$.
（2）原式$=[\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}+\frac{x + 2}{(x - 2)(x + 2)}]÷\frac{x(x + 1)}{(x + 2)(x - 2)}$
$=\frac{2x}{(x + 2)(x - 2)}·\frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 1)}$
$=\frac{2}{x + 1}$
当$x = 3$时，原式$=\frac{2}{3 + 1}=\frac{1}{2}$.