《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

22. (本题满分10分)
如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$\angle ABC=2\angle C$，点D在线段CB的延长线上，且$BD=AB$，连接AD.
(1) 求证：AD是$\odot O$的切线；
(2) 当$AB=5$，$AC=8$时，求BC的长及$\odot O$的半径.

答案： 22
(1) 证明: 如图, 连接 $AO$ 并延长交 $\odot O$

23. (本题满分11分)
新考法 正多边形的类比探究 【问题呈现】
如图(1)，已知P是正方形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$外一点，且满足$\angle PA_{1}A_{2}+\angle PA_{3}A_{2}=180^{\circ}$，探究$PA_{1}$，$PA_{2}$，$PA_{3}$三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图(2)，构造$\triangle QA_{3}A_{2}$与$\triangle PA_{1}A_{2}$全等，从而得出$PA_{1}+PA_{3}$与$PA_{2}$的数量关系；
思路二：如图(3)，构造$\triangle MA_{1}A_{2}$与$\triangle NA_{3}A_{2}$全等，从而得出$PA_{1}+PA_{3}$与$PA_{2}$的数量关系.
(1) 请参考小颖的思路，直接写出$PA_{1}+PA_{3}$与$PA_{2}$的数量关系：.
【类比探究】
(2) 如图(4)，若P是正五边形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$外一点，且满足$\angle PA_{1}A_{2}+\angle PA_{3}A_{2}=180^{\circ}$，$PA_{1}=11$，$PA_{3}=49$，求$PA_{2}$的长度(结果精确到0.1. 参考数据：$\sin 54^{\circ}\approx 0.81$，$\sin 72^{\circ}\approx 0.95$，$\cos 54^{\circ}\approx 0.59$，$\cos 72^{\circ}\approx 0.31$).
【拓展延伸】
(3) 如图(5)，若P是正十边形$A_{1}A_{2}·s A_{10}$外一点，且满足$\angle PA_{1}A_{2}+\angle PA_{3}A_{2}=180^{\circ}$，则$PA_{1}$，$PA_{2}$，$PA_{3}$三条线段的数量关系为(结果用含有锐角三角函数的式子表示).

答案：
(1) $ PA_1 + PA_3 = \sqrt{2}PA_2 $
(2) 正五边形中心角为 $ \frac{360°}{5} = 72° $，底角为 $ \frac{180° - 72°}{2} = 54° $。由正弦定理：$ \frac{PA_1 + PA_3}{\sin 72°} = \frac{PA_2}{\sin 54°} $。
$ PA_1 + PA_3 = 11 + 49 = 60 $，则 $ PA_2 = \frac{60 · \sin 54°}{\sin 72°} \approx \frac{60 × 0.81}{0.95} \approx 51.2 $
(3) $ PA_1 + PA_3 = 2PA_2 \sin 18° $