《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. (本小题满分10分)
如图,在$\triangle OAB$中,点A在$\odot O$上,边OB交$\odot O$于点C,$AD\perp OB$于点D,AC是$\angle BAD$的平分线.
(1) 求证:AB为$\odot O$的切线;
(2) 若$\odot O$的半径为2,$\angle AOB = 45^{\circ}$,求CB的长.

答案： 20.
(1)证明：$\because AD\perp OB$，
$\therefore\angle DAC+\angle ACD = 90^{\circ}$.
$\because OA = OC$，$\therefore\angle OAC=\angle OCA$.
$\because AC$平分$\angle BAD$，$\therefore\angle DAC=\angle BAC$，
$\therefore\angle BAC+\angle OAC=\angle DAC+\angle OCA = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle OAB = 90^{\circ}$，即$OA\perp AB$.
又$\because OA$为$\odot O$的半径，
$\therefore AB$为$\odot O$的切线.
(2)$\because\angle AOB = 45^{\circ}$，$\angle OAB = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle OAB$为等腰直角三角形，
$\therefore OB=\sqrt{2}OA = 2\sqrt{2}$.
又$\because OC = 2$，
$\therefore CB = OB - OC = 2\sqrt{2}-2$.(10分)

21. (本小题满分9分)
新课标 项目式学习 【问题情境】
2025年5月29日,“天问二号”成功发射,开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞,制作了一个航天器模型,其中某个部件使用3D打印完成,如图(1).
【问题提出】
部件主视图如图(2)所示,由于l的尺寸不易直接测量,需要设计一个可以得到l的长度的方案,以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献,提出了钢柱测量法.
测量工具:游标卡尺(一种测量长度的工具)、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤:如图(3),将两个钢柱平行放在部件合适位置,使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图(4),$\odot O$分别与AC,AD相切于点B,D.用游标卡尺测量出$CC'$的长度y.
【问题解决】
已知$\angle CAD=\angle C'A'D' = 60^{\circ}$,l的长度要求是1.9cm~2.1cm.
(1) 求$\angle BAO$的度数.
(2) 已知钢柱的底面圆半径为1cm,现测得$y = 7.52$cm.根据以上信息,通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)
【结果反思】
(3) 本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度,能将圆柱换成其他几何体吗?如果能,写出一个;如果不能,说明理由.

答案： 21.
(1)连接OD.
$\because\odot O$分别与AC，AD相切于点B，D，
$\therefore OB = OD$，$OB\perp AB$，$OD\perp AD$，
$\therefore AO$是$\angle CAD$的平分线（点拨：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上），
$\therefore\angle BAO=\frac{1}{2}\angle CAD=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$.(2分)
(2)$\because$钢柱的底面圆的半径为$1cm$，
$\therefore BC = OB = 1cm$.(3分)
$\because\angle BAO = 30^{\circ}$，$\angle OBA = 90^{\circ}$，
$\therefore AB=\frac{OB}{\tan30^{\circ}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}(cm)$，
$\therefore AC = BC + AB = (1+\sqrt{3})cm$.
同理可得$A'C'=(1+\sqrt{3})cm$，
$\therefore l = 7.52 - 2×(1+\sqrt{3})\approx2.06(cm)$.
$\because1.9＜2.06＜2.1$，
$\therefore$该部件l的长度符合要求.(7分)
(3)能，将圆柱换成正方体(答案不唯一).(9分)