《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. （本小题满分6分）
学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图，点A，B，C，D，E在同一平面内.点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度.
（参考数据：sin22°≈$\frac{3}{8}$，cos22°≈$\frac{15}{16}$，tan22°≈$\frac{2}{5}$，sin42°≈$\frac{27}{40}$，cos42°≈$\frac{3}{4}$，tan42°≈$\frac{9}{10}$）

答案：
20 如图,过点$E$作$EF \perp AB$于点$F$.

巧作辅助线:作垂线,构造直角三角形
由题意得$EF=BD,BF=DE,AB=19$米$,BC=15$米$,AG // EF,\therefore \angle AEF=\angle GAE=22^{\circ}$.
设$CD=x$米,则$EF=BD=BC+CD=(x + 15)$米.
在$Rt\triangle DCE$中$,\angle ECD=42^{\circ},\tan \angle ECD=\frac{DE}{CD}$,
$\therefore DE = CD · \tan 42^{\circ} \approx \frac{9}{10}x$米,
$\therefore BF=DE=\frac{9}{10}x$米.
在$Rt\triangle AEF$中,$\angle AEF=22^{\circ},\tan \angle AEF=\frac{AF}{EF}$,
$\therefore AF=EF · \tan 22^{\circ} \approx \frac{2}{5}(x + 15)$米.
$\because AF + BF=AB$,
$\therefore \frac{2}{5}(x + 15) + \frac{9}{10}x=19$,解得$x = 10$,
$\therefore DE=\frac{9}{10}x=\frac{9}{10} × 10=9$.
故博学楼$DE$的高度约为9米.
名师讲方法
解直角三角形实际应用题的一般步骤
1.审题:画出正确的平面图或截面示意图,并通过图形弄清楚已知量和未知量.
2.构造直角三角形:将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题,若不能在图中体现,则需添加适当的辅助线,作垂线是常用的辅助线.
3.列关系式:根据直角三角形(或通过作垂线构造的直角三角形)元素(边、角)之间的关系解直角三角形.
4.检验:解题完毕后,可能会存在一些较为特殊的数据,如含有复杂的小数等,因此要特别注意所求数据是否符合实际意义,同时还要注意题目中对结果的精确位数有无要求.

21. （本小题满分8分）
某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件.公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单.
（1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？

答案： 21 名师教解题
对于本题第
(1)问,不妨设乙车间每天能生产$x$件产品,列表如下:
| 车间 | 每天生产的数量/件 |
| --- | --- |
| 甲 | $1.5x$ |
| 乙 | $x$ |
结合表格可知,甲、乙两个车间共同完成1500件产品所用天数为$\frac{1500}{x + 1.5x}$,剩余产品由乙车间单独完成所用的天数为$\frac{2100 - 1500}{x}$,根据“前后共用10天完成这批订单”可列方程为$\frac{1500}{x + 1.5x}+\frac{2100 - 1500}{x}=10$.
(1)设乙车间每天能生产$x$件产品,则甲车间每天能生产$1.5x$件产品,
由题意得$\frac{1500}{x + 1.5x}+\frac{2100 - 1500}{x}=10$,解得$x = 120$,
经检验$,x = 120$是原方程的解,且符合题意（点拨：解分式方程必须检验）,
$\therefore 1.5 × 120=180$(件).
答:甲车间每天能生产180件产品,乙车间每天能生产120件产品.
(2)设安排甲车间生产$m$天,则乙车间生产$(30 - m)$天,
由题意得$m \leqslant 2(30 - m)$,解得$m \leqslant 20$.
设这30天的生产总量为$w$件,
由题意得$w=180m + 120(30 - m)=60m + 3600$,
$\because 60＞0,\therefore w$随$m$的增大而增大,
$\therefore$当$m = 20$时$,w$取得最大值,此时$30 - m=30 - 20=10$.
答:要使这30天的生产总量最大,应安排甲车间生产20天,乙车间生产10天.