《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

7. 如图(1),在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任意一点M的位置可由$\angle MOx$的度数$\theta$与OM的长度m确定,有序数对$(\theta,m)$称为点M的"极坐标",这样建立的坐标系称为"极坐标系".在图(2)的极坐标系下,正八边形的边长为2,有一边OA在射线Ox上,则正八边形的顶点C的极坐标应记为 (B)

A.$(45^{\circ},4)$
B.$(45^{\circ},2 + 2\sqrt{2})$
C.$(67.5^{\circ},4)$
D.$(67.5^{\circ},4\sqrt{2})$

答案：
7B 如图,∠BAx=$\frac{360°}{8}$=45°。过点B作BD⊥Ox于点D,则BD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$,∠ABD=45°。又
∵∠ABC=$\frac{180°×(8 - 2)}{8}$=135°,
∴∠ABC + ∠ABD = 180°,
∴C,B,D三点共线,
∴OD = CD = 2 + $\sqrt{2}$,
∴∠COD = 45°,OC = 2$\sqrt{2}$ + 2,
∴顶点C的极坐标应记为(45°,2 + 2$\sqrt{2}$)。

8. 新考法 根据补充的条件列方程 为丰富学生的校园生活,提高身体素质,某校准备购进一批篮球和足球,其中篮球的单价比足球的单价贵20元.学校购买篮球花费1800元,购买足球花费800元,购得的篮球数量是足球数量的1.5倍,,根据以上信息列方程.下列说法正确的是 (C)

A.若横线上填"设学校购买了x个足球",则可列方程为$\frac{1800}{1.5x}=\frac{800}{x}-20$
B.若横线上填"设学校购买了x个足球",则可列方程为$\frac{1800}{x}=\frac{800}{1.5x}+20$
C.若横线上填"设足球的单价为y元",则可列方程为$\frac{1800}{y + 20}=\frac{800}{y}×1.5$
D.若横线上填"设足球的单价为y元",则可列方程为$\frac{1800}{y - 20}=\frac{800}{y}×1.5$

答案： 8C 若设学校购买了x个足球,则购买了1.5x个篮球,故足球的单价为$\frac{800}{x}$元，篮球的单价为$\frac{1800}{1.5x}$元，根据等量关系“篮球的单价比足球的单价贵20元”，可列方程为$\frac{1800}{1.5x}$ = $\frac{800}{x}$ + 20；若设足球的单价为y元,则篮球的单价为(y + 20)元，故购得的足球的数量为$\frac{800}{y}$个，篮球的数量为$\frac{1800}{y + 20}$个，根据等量关系“购得的篮球数量是足球数量的1.5倍”，可列方程为$\frac{1800}{y + 20}$ = $\frac{800}{y}$×1.5。

9. 如图,在$□ ABCD$中,E是AB的中点,点F在DC的延长线上,连接EF,分别交BC,BD于点M,N.若$BD = 9,\frac{BM}{CM}=\frac{2}{3}$,则BN的长为 (A)

A.2
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{11}{5}$
D.$\frac{15}{7}$

答案： 9A 易知AB//DC,
∴△BEM∽△CFM(提示:“X”型相似),
∴$\frac{BE}{CF}$ = $\frac{BM}{CM}$ = $\frac{2}{3}$。设BE = 2x,则CD = AB = 4x,CF = 3x。易知△BEN∽△DFN(提示:“X”型相似)，
∴$\frac{BN}{DN}$ = $\frac{BE}{DF}$ = $\frac{2x}{3x + 4x}$ = $\frac{2}{7}$,
∴BN = $\frac{2}{9}$BD = 2。

10. 新考法 双函数图象 如图(1),在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,D是BC的中点,点E在AB边上,且$BE = 2AE$.点P是线段AD上一动点,连接PE,PB.设$AP = x,PE = y_{1},PB + PE = y_{2},y_{1},y_{2}$关于x的函数图象如图(2)所示,其中M,N分别是两函数图象的最低点,则点N的纵坐标为 (D)

A.$2\sqrt{10}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{13}$

答案：
10D
∵AB = AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC。易知当EP⊥AD时,EP最短(提示:根据“垂线段最短”),如图
(1)。由题图
(2)可知,此时EP = $\sqrt{3}$,AP = 1,
∴AE = 2,∠BAD = 60°,
∴BE = 2AE = 4,
∴AC = AB = 6。易知∠ABD = 30°,
∴CD = BD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AB = 3$\sqrt{3}$。如图
(2),连接PC,则PC = PB,
∴PE + PB = PE + PC,
∴当E,P,C三点共线时,PE + PB的值最小(提示:利用“将军饮马”模型分析出点P的位置),如图
(3)。过点C作CF⊥BA交BA的延长线于点F,则∠FAC = 60°,
∴CF = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AC = 3$\sqrt{3}$,AF = $\frac{1}{2}$AC = 3,
∴EF = 5,
∴EC = $\sqrt{EF² + CF²}$ = $\sqrt{5² + (3\sqrt{3})²}$ = 2$\sqrt{13}$,
∴PE + PB的最小值为2$\sqrt{13}$。故点N的纵坐标为2$\sqrt{13}$。

11. 古希腊时期,人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,著名的雕塑断臂维纳斯便是如此.比较大小:$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＞$\frac{1}{2}$(填"$＞$"或"$＜$").

答案： 11 ＞

12. $mx - 2n$(m,n为常数)与x的几组对应值如下表,请写出关于x的不等式$-mx + 2n ＞ 2$的一个整数解:4.

答案： 12 4(答案不唯一,写出一个大于3的整数即可)
[解析]
∵ - mx + 2n ＞ 2,
∴mx - 2n ＜ - 2。结合表格可知,mx - 2n ＜ - 2的解集为x ＞ 3。