《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. (本小题满分10分)
如图,AB是$\odot O$的直径,弦$C D \perp A B$于点P,且点P是OB的中点,过点D作$D E \perp C B$,交CB的延长线于点E,点F是劣弧AC上一点.
(1) 求证:DE是$\odot O$的切线.
(2) 连接DF交AP于点G,若$\angle C D F=45^{\circ}, D E=6$,求FG的长.

答案：
20
(1)证明：如图
(1)，连接OD。

巧作辅助线：遇切点，连半径，证垂直
$\because$点P是OB的中点，$CD \perp OB$，
$\therefore BP = OP$，$CP = DP$(依据：垂径定理)
又$\because \angle CPB = \angle DPO$，
$\therefore \triangle CPB \cong \triangle DPO(SAS)$，
$\therefore \angle BCP = \angle ODP$，
$\therefore CE // OD$。
又$\because CE \perp DE$，$\therefore OD \perp DE$。
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore DE$是$\odot O$的切线。 (4分)
(2)如图
(2)，连接CF、BD、OD、CG。

$\because AB$是$\odot O$的直径，弦$CD \perp AB$，
$\therefore AB$是CD的垂直平分线，
$\therefore CG = DG$，$\angle DCG = \angle CDF = 45^{\circ}$，$\therefore \angle CGD = 90^{\circ}$。
$\because$点P是OB的中点，$CD \perp OB$，
$\therefore CD$是OB的垂直平分线，$\therefore OD = BD$。
又$\because OB = OD$，$\therefore OB = OD = BD$，
$\therefore \triangle OBD$是等边三角形，$\therefore \angle BOD = 60^{\circ}$。
易证$\angle 2 = \angle 1 = \frac{1}{2}\angle BOD = 30^{\circ}$，$\therefore \angle 3 = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle 4 = 60^{\circ}$(依据：圆内接四边形的对角互补)。 (8分)
在$Rt\triangle CDE$中，$\angle ECD = 30^{\circ}$，$DE = 6$，
$\therefore CD = 2DE = 12$，$\therefore CG = \frac{\sqrt{2}}{2}CD = 6\sqrt{2}$，
$\therefore FG = \frac{\sqrt{3}}{3}CG = 2\sqrt{6}$。 (10分)
一题多解
对于本题第
(1)问还有如下求证方法：
证明：如图，连接OD、BD。

$\because$点P是OB的中点，$CD \perp OB$，
$\therefore CD$是OB的垂直平分线，$\therefore OD = BD$。
又$\because OB = OD$，$\therefore OB = OD = BD$，
$\therefore \triangle OBD$是等边三角形，$\therefore \angle BOD = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BCD = \frac{1}{2}\angle BOD = 30^{\circ}$(依据：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)。
易证$\angle ODP = \angle BDP = 30^{\circ}$(依据：等腰三角形“三线合一”)，
$\therefore \angle BCD = \angle ODP$，$\therefore OD // CE$。
又$\because CE \perp DE$，$\therefore OD \perp DE$。
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore DE$是$\odot O$的切线。

21. (本小题满分9分)
新课标 项目式学习 实践课上,某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量,活动过程如下:
(1) 探究原理
制作测角仪时,将细线一端固定在量角器圆心O处,另一端系小重物G.测量时,使支杆OP、量角器90°刻度线OC与铅垂线OG相互重合(如图(1)),绕点O转动量角器,使观测目标Q与直径两端点A,B共线(如图(2)),此时目标Q的仰角$\angle Q O K=\angle G O C$,请说明这两个角相等.
(2) 实地测量
①如图(3),小红在教学楼二层走廊上的点P处,利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为37°,测得旗杆底部B处的俯角为22°.已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离QB为12m.请用小红所测得的数据求旗杆AB的高度.(结果精确到1m.参考数据:$\sin 37^{\circ} \approx 0.60, \cos 37^{\circ} \approx 0.80$,$\tan 37^{\circ} \approx 0.75, \sin 22^{\circ} \approx 0.37, \cos 22^{\circ} \approx 0.93, \tan 22^{\circ} \approx 0.40$)
②小明在教学楼一层走廊上,利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为θ,则他由此计算出旗杆的高度为$12 \tan \theta \mathrm{m}$.通过与(2)①中计算出来的值对比,小明发现他计算出的旗杆高度少了1.5m,请你帮小明分析一下原因.

答案：
21
(1)$\because \angle QOC = \angle KOG = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle QOC - \angle COK = \angle KOG - \angle COK$，
即$\angle QOK = \angle GOC$。 (3分)
(2)①如图，过点P作$PC \perp AB$于点C，则四边形$PCBQ$是矩形，
$\therefore PC = QB = 12m$。
在$Rt\triangle PCB$中，$\because \angle CPB = 22^{\circ}$，$\tan\angle CPB = \frac{BC}{PC}$，
$\therefore BC = PC·\tan22^{\circ} \approx 12×0.40 = 4.8(m)$。 (5分)
在$Rt\triangle PCA$中，$\because \angle CPA = 37^{\circ}$，$\tan\angle CPA = \frac{AC}{PC}$，
$\therefore AC = PC·\tan37^{\circ} \approx 12×0.75 = 9(m)$， (7分)
$\therefore AB = AC + BC = 9 + 4.8 = 13.8 \approx 14(m)$。
答：旗杆AB的高度约为14m。 (8分)
②测量时测角仪到地面有一定的距离，小明计算出的结果还要加上测角仪到地面的距离才等于旗杆的高度。 (9分)