《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

20. （本小题满分8分）
如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$P$为$\odot O$外一点，$OP // AC$，且$\angle OBP = 90^{\circ}$，连接$PC$。
(1)求证：$PC$与$\odot O$相切；
(2)若$AO = 3$，$OP = 5$，求$AC$的长。

答案：
20
(1)证明:如图,连接 OC,
$\because OC = OA,\therefore\angle OAC=\angle OCA$.
$\because OP// AC,\therefore\angle OAC=\angle BOP,\angle OCA=\angle COP$,
$\therefore\angle COP=\angle BOP$.
在$\triangle COP$和$\triangle BOP$中,
$\begin{cases}OC = OB,\\\angle COP=\angle BOP,\\OP = OP,\end{cases}$
$\therefore\triangle COP\cong\triangle BOP$(SAS),
$\therefore\angle OCP=\angle OBP = 90^{\circ}$,
$\therefore OC\perp PC$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore PC$与$\odot O$相切.

(2)如图,连接 BC 交 OP 于点 D.
由
(1)知$\triangle COP\cong\triangle BOP$,
$\therefore PC = PB,OB = OC,\therefore OP$垂直平分 BC.
$\because BO = AO = 3,OP = 5,\angle OBP = 90^{\circ}$,
$\therefore BP=\sqrt{OP^{2}-OB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.
$\because S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}OB· BP=\frac{1}{2}OP· BD$,
$\therefore BD=\frac{OB· BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$(提示:结合等面积法得到),
$\therefore BC = 2BD=\frac{24}{5}$.
$\because AB$是$\odot O$的直径,
$\therefore AB = 2OA = 6,\angle ACB = 90^{\circ}$(依据:直径所对的圆周角是$90^{\circ}$),
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\frac{18}{5}$.
更多讲解详见《解题有招》折页“快招 2”

21. (本小题满分9分)
某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试(百分制)，从中随机抽取了部分学生的成绩(成绩用$x$表示，单位：分)，并对数据(成绩)进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：
a. 抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：


b. D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79。
请根据以上信息完成下列问题：
(1)求随机抽取的学生人数；
(2)统计表中的$m =$8，扇形统计图中$E$组所对应扇形的圆心角为144度；
(3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为分；
(4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数。

答案： 21
(1)$5÷10\% = 50$(人)
答:随机抽取的学生人数为 50 人.
(2)8 144
解法提示:$m = 50 - 1 - 5 - 16 - 20 = 8$.
$\frac{20}{50}×360^{\circ}=144^{\circ}$.
(3)70
解法提示:将抽取的八年级学生体育测试成绩这组数据按照从小到大排列.观察表格,$\because1 + 5 + 8＜25,1 + 5 + 8 + 16＞26,\therefore$第 25,26 个数据均在 D 组.结合 D 组数据可知第 25,26 个数据均为 70 分,$\therefore$抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为 70 分.
(4)$800×\frac{16 + 20}{50}=576$(人).
答:估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到 60 分及以上的学生人数为 576 人.