《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

22. (本小题满分8分)
新课标 开放性试题 如图，在□ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG//AF交FE的延长线于点G，连接AG.
(1)求证：△AEF≌△BEG.
(2)已知①(从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论.
条件①：$EF=\frac{1}{2}CD$；
条件②：EF⊥CD.
(注：如果选择条件①、条件②分别进行解答，按第一个解答计分)

答案： 22
(1)证明:$\because BG // AF,\therefore \angle AFE=\angle BGE,\angle FAE=\angle GBE.\because E$是$AB$的中点$,\therefore AE=BE,\therefore \triangle AEF \cong \triangle BEG(AAS)$.
(2)答案一:①
四边形$AGBF$是矩形.
证明:由
(1)知$\triangle AEF \cong \triangle BEG,\therefore AF=BG$.
又$\because AF // BG,\therefore$四边形$AGBF$是平行四边形（依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,
$\therefore EF=\frac{1}{2}FG$.
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形$,\therefore AB=CD$.
$\because EF=\frac{1}{2}CD,\therefore FG=AB$,
$\therefore$四边形$AGBF$是矩形（依据：对角线相等的平行四边形是矩形）.
答案二:②
四边形$AGBF$为菱形.
证明:由
(1)知$\triangle AEF \cong \triangle BEG,\therefore EF=EG$.
又$\because EA=EB,\therefore$四边形$AGBF$为平行四边形（依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形$,\therefore AB // CD$.
又$\because EF \perp CD,\therefore EF \perp AB$,
$\therefore$四边形$AGBF$为菱形（依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

23. （本小题满分8分）
【定义新运算】
对正实数a，b，定义运算“⊗”，满足$a⊗b=\frac{ab}{a+b}$.
例如：当a＞0时，$(2a)⊗1=\frac{2a·1}{2a+1}=\frac{2a}{2a+1}$.
（1）当a＞0时，请计算：$(2a)⊗(2a)=$a.
【探究运算律】
对正实数a，b，运算“⊗”是否满足交换律$a⊗b=b⊗a$?
∵$a⊗b=\frac{ab}{a+b}$，$b⊗a=\frac{ba}{b+a}$，
∴$a⊗b=b⊗a$，
∴运算“⊗”满足交换律$a⊗b=b⊗a$.
（2）对正实数a，b，c，运算“⊗”是否满足结合律$(a⊗b)⊗c=a⊗(b⊗c)$？请说明理由.
【应用新运算】
(3)如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成，AF=a，BF=b，且a＞b.若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为26和16，则$(2a)⊗b⊗(2a)$的值为$\frac{5}{6}$.

答案： 23
(1)$a$
解法提示:由新定义得,$(2a) \otimes (2a)=\frac{2a · 2a}{2a + 2a}=\frac{4a^{2}}{4a}=a$.
(2)满足结合律$(a \otimes b) \otimes c=a \otimes (b \otimes c)$.
理由:$\because$左边$=(a \otimes b) \otimes c=\frac{ab}{a + b} \otimes c=\frac{\frac{ab}{a + b} · c}{\frac{ab}{a + b}+c}=\frac{\frac{abc}{a + b}}{\frac{ab + ac + bc}{a + b}}=\frac{abc}{ab + ac + bc}$,右边$=a \otimes (b \otimes c)=a \otimes \frac{bc}{b + c}=\frac{a · \frac{bc}{b + c}}{a+\frac{bc}{b + c}}=\frac{\frac{abc}{b + c}}{\frac{ab + ac + bc}{b + c}}=\frac{abc}{ab + ac + bc}$,
$\therefore$左边=右边,
$\therefore$对正实数$a,b,c$,运算“$\otimes$”满足结合律$(a \otimes b) \otimes c=a \otimes (b \otimes c)$.
(3)$\frac{5}{6}$
解法提示:由题意得$\angle AFB=90^{\circ},\therefore AF^{2}+BF^{2}=AB^{2}.\because AF=a,BF=b$,且$a＞b$,正方形$ABCD$的面积为26,$\therefore a^{2}+b^{2}=26$.
$\because$四个直角三角形全等$,\therefore AE=BF=b,\therefore EF=AF - AE=a - b$.
$\because$正方形$EFGH$的面积为16,
$\therefore (a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=16$,
$\therefore 26 - 2ab=16,\therefore ab=5$,
$\therefore (a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=16 + 4 × 5=36$,
$\therefore a + b=6$(负值已舍),
$\therefore (2a) \otimes b \otimes (2a)=(2a) \otimes (2a) \otimes b=a \otimes b=\frac{ab}{a + b}=\frac{5}{6}$.