《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

22. （本小题满分 10 分）
图（1）是一盏可调节台灯，图（2）是其平面示意图，固定底座 $OA$ 与水平面 $OE$ 垂直，$AB$ 为固定支撑杆，$BC$ 为可绕着点 $B$ 旋转的调节杆，若 $AB = 30\mathrm{cm}$，$BC = 35\mathrm{cm}$，$OA = 8\mathrm{cm}$，$\angle OAB = 143^{\circ}$，$\angle ABC = 80^{\circ}$，求台灯灯体 $C$ 到水平面 $OE$ 的距离.（结果精确到 $0.1\mathrm{cm}$. 参考数据：$\sin 37^{\circ}\approx 0.60$，$\cos 37^{\circ}\approx 0.80$，$\tan 37^{\circ}\approx 0.75$，$\sin 27^{\circ}\approx 0.45$，$\cos 27^{\circ}\approx 0.89$，$\tan 27^{\circ}\approx 0.51$）

答案：
32 如图，过点$C$作$CM\bot OE$于点$M$，过点$B$作$BN\bot CM$于点$N$，延长$OA$交$BN$于点$P$。

$\because \angle OAB = 143^{\circ}$，$\therefore \angle BAP = 180^{\circ} - \angle OAB = 37^{\circ}$。
在$Rt\triangle BAP$中，$AB = 30 cm$，$\cos\angle BAP = \frac{AP}{AB}$，
$\therefore AP = AB\cos\angle BAP = AB\cos37^{\circ} \approx 30×0.80 = 24( cm)$，
$\therefore OP = OA + AP = 8 + 24 = 32( cm)$。
$\because BN\bot CM$，$CM\bot OE$，$PO\bot OE$，
$\therefore \angle POM = \angle OMN = \angle MNP = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$POMN$为矩形（依据：有三个角是直角的四边形是矩形），
$\therefore MN = OP = 32 cm$，$\angle APN = 90^{\circ}$。
$\because \angle BAP = 37^{\circ}$，$\therefore \angle ABP = 90^{\circ} - \angle BAP = 53^{\circ}$。
又$\because \angle ABC = 80^{\circ}$，$\therefore \angle CBN = \angle ABC - \angle ABP = 27^{\circ}$。
在$Rt\triangle CBN$中，$CB = 35 cm$，$\sin\angle CBN = \frac{CN}{BC}$，
$\therefore CN = BC\sin\angle CBN = 35\sin27^{\circ} \approx 35×0.45 = 15.75( cm)$，
$\therefore CM = MN + CN = 32 + 15.75 \approx 47.8( cm)$。
答：台灯灯体$C$到水平面$OE$的距离约为$47.8 cm$。(10分)

23. （本小题满分 13 分）
如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C_{1}:y = x^{2}+bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$. 点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$，将直线 $y = kx$ 沿 $y$ 轴向上平移 $3$ 个单位长度后，恰好经过 $B$，$C$ 两点.
（1）求 $k$ 的值和点 $C$ 的坐标；
（2）求抛物线 $C_{1}$ 的表达式及顶点 $D$ 的坐标；
（3）已知点 $E$ 是点 $D$ 关于原点的对称点，若抛物线 $C_{2}:y = ax^{2}-2(a\neq 0)$ 与线段 $AE$ 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 $a$ 的取值范围.

答案：
33
(1)将直线$y = kx$沿$y$轴向上平移$3$个单位长度后得到直线$y = kx + 3$。
$\because$直线$y = kx + 3$经过点$B(3,0)$，
$\therefore 3k + 3 = 0$，$\therefore k = - 1$。(2分)
$\because$点$C$为抛物线$C_1:y = x^{2} + bx + c$与$y$轴的交点，
$\therefore C(0,c)$。
$\because$直线$y = - x + 3$经过点$C(0,c)$，
$\therefore c = 3$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$。(4分)
(2)$\because$抛物线$C_1:y = x^{2} + bx + c$经过点$B(3,0)$，$C(0,3)$，
$\therefore \begin{cases}0 = 9 + 3b + c\\3 = c\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 4\\c = 3\end{cases}$
$\therefore$抛物线$C_1$的表达式为$y = x^{2} - 4x + 3 = (x - 2)^{2} - 1$。(7分)
$\therefore$抛物线$C_1$的顶点$D$的坐标为$(2, - 1)$。(8分)
(3)$\because$点$E$是点$D$关于原点的对称点，
$\therefore$点$E$的坐标为$(- 2,1)$。(10分)
令$x^{2} - 4x + 3 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(1,0)$。
当抛物线$C_2:y = ax^{2} - 2$经过点$E(- 2,1)$时，$1 = 4a - 2$，
解得$a = \frac{3}{4}$。
当抛物线$C_2:y = ax^{2} - 2$经过点$A(1,0)$时，$0 = a - 2$，
解得$a = 2$，
分别画出当$a = \frac{3}{4}$和$a = 2$时的抛物线$C_2:y = ax^{2} - 2$，如图所示，
结合函数图象可知，$a$的取值范围是$\frac{3}{4} \leq a ＜ 2$。(13分)