《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

22. （本小题满分10分）
新课标 项目式学习 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度.
【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具.
【实践活动】如图（1），某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图如图（2），休闲步道分别是$AB$，$BC$，$CD$，且$A$，$B$，$C$，$D$在同一水平面上. 经过多次测量，得到如下数据：$AB = BC = 7.5\ km$，$CD = 5\ km$，$\angle ABC = 106.4^{\circ}$，$\angle BCD = 126.8^{\circ}$.
【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以$AD$为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）.
（1）求$A$，$C$两点间的距离；
（2）求该条待建环山路的长度（结果保留$\pi$）.
（参考数据：$\sin 53.2^{\circ} \approx 0.80$，$\cos 53.2^{\circ} \approx 0.60$，$\sin 73.6^{\circ} \approx 0.96$，$\cos 73.6^{\circ} \approx 0.28$）

答案： （1）如图，连接$AC$，过点$B$作$BE\perp AC$，垂足为$E$.
$\because AB = BC$，$\angle ABC = 106.4^{\circ}$，
$\therefore\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC = 53.2^{\circ}$，$EA=\frac{1}{2}AC$（依据：等腰三角形“三线合一”）.
在$Rt\triangle ABE$中，$\sin\angle ABE=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore AE = AB\sin\angle ABE = 7.5×\sin53.2^{\circ}\approx7.5×0.80 = 6(km)$，
$\therefore AC = 2AE = 12km$.
故$A$，$C$两点间的距离为$12km$.
（2）如图，连接$AD$.
$\because AB = BC$，$\therefore\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^{\circ}-106.4^{\circ}}{2}=36.8^{\circ}$，
$\therefore\angle ACD=\angle BCD-\angle BCA = 126.8^{\circ}-36.8^{\circ}=90^{\circ}$.
由（1）知$AC = 12km$.
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13(km)$，
$\therefore\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{13×\pi}{2}=\frac{13}{2}\pi(km)$.
故该条待建环山道路的长度为$\frac{13}{2}\pi km$.

23. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y = ax^{2} + (b - 2)x + \frac{b^{2}}{4}$.
（1）当$a = 1$时，
①求证：该抛物线的顶点不在第三象限；
②若$b$为自然数，且该抛物线与$x$轴有两个不同交点$(x_{1},0)$和$(x_{2},0)(x_{1} ＜ x_{2})$，求$x_{2} - x_{1}$的值.
（2）若$b ＜ 0$，直线$y = ax + m$与该抛物线有两个交点$A$，$B$，其坐标分别为$A(0,2 - m)$和$B(2,n)$. 当$t \leq x \leq t + 1$时，求$y = ax^{2} + (b - 2)x + \frac{b^{2}}{4}$的最小值.

答案： （1）①证明：当$a = 1$时，$y = x^{2}+(b - 2)x+\frac{b^{2}}{4}=(x - 1+\frac{b}{2})^{2}+b - 1$，
$\therefore$该抛物线的顶点坐标为$(1-\frac{b}{2},b - 1)$.
若顶点在第三象限，则$\begin{cases}1-\frac{b}{2}＜0,\\b - 1＜0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b ＞ 2,\\b ＜ 1,\end{cases}$
$\therefore$该不等式组无解，
$\therefore$该抛物线的顶点不在第三象限.
②$\because$该抛物线与$x$轴有两个不同交点$(x_{1},0)$和$(x_{2},0)(x_{1}＜x_{2})$，
$\therefore$方程$x^{2}+(b - 2)x+\frac{b^{2}}{4}=0$有两个不相等的实数根（关键点），
$\therefore\Delta=(b - 2)^{2}-4×1×\frac{b^{2}}{4}＞0$，解得$b ＜ 1$，
又$\because b$为自然数，$\therefore b = 0$，$\therefore y = x^{2}-2x$.
对于$y = x^{2}-2x$，
令$y = 0$，则$x^{2}-2x = 0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$，
$\therefore x_{2}-x_{1}=2$.
（2）$\because$直线$y = ax + m$过点$A(0,2 - m)$，
$\therefore2 - m = m$，解得$m = 1$，$\therefore A(0,1)$.
$\because$抛物线$y = ax^{2}+(b - 2)x+\frac{b^{2}}{4}$过点$A(0,1)$，
$\therefore\frac{b^{2}}{4}=1$，解得$b = \pm2$，
$\because b ＜ 0$，$\therefore b = - 2$，
$\therefore y = ax^{2}-4x + 1$.
$\because$直线$y = ax + 1$过点$B(2,n)$，
$\therefore n = 2a + 1$，$\therefore B(2,2a + 1)$.
将$B(2,2a + 1)$代入$y = ax^{2}-4x + 1$，
得$4a - 7 = 2a + 1$，解得$a = 4$，
$\therefore$抛物线$y = 4x^{2}-4x + 1$的开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$.
分三种情况讨论：
①当$t + 1\leq\frac{1}{2}$，即$t\leq-\frac{1}{2}$时，则$t\leq x\leq t + 1$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x = t + 1$时，$y$取最小值，最小值为$4t^{2}+4t + 1$.
②当$t＜\frac{1}{2}＜t + 1$，即$-\frac{1}{2}＜t＜\frac{1}{2}$时，则$t＜x\leq\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小；
$\frac{1}{2}＜x＜t + 1$时，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=\frac{1}{2}$时，$y$取最小值，最小值为$0$.
③当$t\geq\frac{1}{2}$时，则$t\leq x\leq t + 1$，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x = t$时，$y$取最小值，最小值为$4t^{2}-4t + 1$.
综上可知，当$t\leq-\frac{1}{2}$时，$y$取最小值$4t^{2}+4t + 1$；当$-\frac{1}{2}＜t＜\frac{1}{2}$时，$y$取最小值$0$；当$t\geq\frac{1}{2}$时，$y$取最小值$4t^{2}-4t + 1$.