《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

8. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E. 若AD = 5，AE = 10，则BC的长是(B)

A.10
B.12
C.13
D.15

答案： III8 B 设圆心为$O$,半径为$r$,如图,连接$OE$,则$OE\bot AE$,在$Rt\triangle AOE$中,由勾股定理可得$OA^{2}=OE^{2}+AE^{2}$,即$(5+r)^{2}=r^{2}+100$,解得$r=7.5$,$\therefore AB=AD+OD+OB=20$.
又$\because \sin A=\frac{OE}{OA}=\frac{BC}{AB}$,即$\frac{7.5}{5+7.5}=\frac{BC}{20}$,$\therefore BC=12$.故选B.
巧作辅助线：见切点，连半径，得垂直

9. 如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ. 若AB = 1，则△APQ的最大面积是(C)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2} + 1}{4}$

答案： III9 C 如图,过点$Q$作$QE\bot AP$于点$E$（关键点1：将$S_{\triangle APQ}$的最值问题转化为$QE$的最值问题）,过点$C$作$CF\bot AP$的延长线于点$F$,则$\angle QEP=\angle CFP=90^{\circ}$.连接$AC$交弧$BD$于点$P_{1}$.$\because \angle QPC=\angle QEP=90^{\circ}$,$\therefore \angle EQP+\angle EPQ=\angle FPC+\angle EPQ=90^{\circ}$,$\therefore \angle EQP=\angle FPC$.由旋转得$PC=PQ$,$\therefore \triangle QPE\cong \triangle PCF$,$\therefore EQ=PF$（关键点2：通过“一线三直角”模型，将$QE$的长转化为$FP$的长）.$\because AF\leq AC$,$\therefore FP+AP\leq CP_{1}+AP_{1}$,$\therefore FP\leq CP_{1}$,$\therefore$当点$P$与点$P_{1}$重合
点拨：构造“一线三直角”模型
时,$FP$取最大值,最大值为$CP_{1}$的长（关键点3：确定取得最值时位置）.$\because$四边形$ABCD$是正方形,$\therefore BC=AB=1$,$\therefore AC=\sqrt{2}$,$\therefore CP_{1}=\sqrt{2}-1$,$\therefore FP$的最大值为$\sqrt{2}-1$,即$EQ$的值最大为$\sqrt{2}-1$,$\therefore \triangle APQ$的最大面积是$\frac{1}{2}× 1× (\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$.故选C.
名师讲方法
解题突破
本题在求面积最值时,观察得到$AP$为定长,过点$Q$作$AP$边上的高$EQ$,将求面积最值问题转化为求高的最值问题.再结合$\angle QPC$是直角,过点$C$作$AP$的垂线$CF$,构建“一线三直角”模型,将求$EQ$的最大值转化为求$FP$的最大值,再结合$AF\leq AC$求得最值.本题多次利用转化思想,遇到此类问题时要灵活运用面积公式、全等、勾股定理等知识解答.

10. 如图，D为矩形OABC(边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上)对角线OB上的点，且OD = $\frac{1}{2}$BD. 经过点D的反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF. 若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为(D)

A.25
B.26
C.$\frac{79}{3}$
D.$\frac{80}{3}$

答案： III10 D 设点$A$的坐标为$(a,0)$,点$C$的坐标为$(0,b)$,则点$B$的坐标为$(a,b)$,点$D$的坐标为$(\frac{1}{3}a,\frac{1}{3}b)$.又$\because$点$D$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore \frac{1}{3}a×\frac{1}{3}b=\frac{1}{9}ab$.又$\because$点$E,F$在反比例函数的图象上,$\therefore$点$F$的坐标为$(\frac{1}{9}a,b)$,点$E$的坐标为$(a,\frac{1}{9}b)$,$\therefore BF=a-\frac{1}{9}a=\frac{8}{9}a$,$BE=b-\frac{1}{9}b=\frac{8}{9}b$,$\therefore S_{\triangle OFB}=\frac{1}{2}× BF× OC=\frac{1}{2}×\frac{8}{9}a× b=\frac{1}{2}×\frac{8}{9}ab$,$S_{\triangle OEF}=S_{矩形OABC}-S_{\triangle OCF}-S_{\triangle OEA}-S_{\triangle BEF}=ab-\frac{1}{2}×\frac{1}{9}ab-\frac{1}{2}×\frac{1}{9}ab-\frac{1}{2}×\frac{8}{9}a×\frac{8}{9}b=\frac{40}{81}ab=\frac{80}{3}$.故选D.
名师讲方法
“坐标法”解决反比例函数问题
“坐标法”是解决反比例函数问题的一种“通法”,此种方法的本质是“数形结合”,通过坐标系中的点的坐标,可以方便地进行各种计算和推理,解决与函数相关的问题,解题步骤清晰,且通用性强.
设而不求：解题时通常不用求出该关键点的坐标,列式、消元、解方程即可得到答案
第一步：
设坐标
设出关键点的坐标,这个关键点通常是反比例函数图象上的点
第二步：
求坐标
利用关键点的坐标,表示出所给的其他点的坐标,用含字母的式子表示
第三步：
列式子
结合已知条件（如线段长度、图形面积等）,列出式子
第四步：
得答案
对第三步列出的式子进行整理、化简,得答案

11. 因式分解：2x² - 18 = 2(x+3)(x-3).

答案： III11 $2(x+3)(x-3)$
[解析]$2x^{2}-18=2(x^{2}-9)=2(x+3)(x-3)$.

12. 如图，∠AOC = ∠BOD = 90°，∠COD = 44°，则∠AOB = 136°.

答案： III12 $136^{\circ}$
[解析]$\because \angle BOD=90^{\circ}$,$\angle COD=44^{\circ}$,$\therefore \angle BOC=\angle BOD-\angle COD=90^{\circ}-44^{\circ}=46^{\circ}$.$\because \angle AOC=90^{\circ}$,$\therefore \angle AOB=\angle AOC+\angle BOC=90^{\circ}+46^{\circ}=136^{\circ}$.

13. 新考法 结合对话情境 爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书. 下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：

小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了. ”则这本书的价格x(元)所在的范围是50＜x＜60.

答案： III13 $50＜x＜60$
[解析]根据对话可得$\begin{cases}x＞45,\\x＞50,\\x＜60,\end{cases}$解得$50＜x＜60$.

14. 如图，已知矩形ABCD，AB = 4，BC = 6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q. 若∠FQP = 45°，则EF的长为$2\sqrt{5}$.

答案：
III14 $2\sqrt{5}$
[解析]如图,过点$A$作$AG// EF$交$BC$于点$G$（点拨：将$45^{\circ}$角转化）,过点$A$作$AK\bot AP$交$CB$的延长线于点$K$,过点$G$作$GH\bot AK$于点$H$（点拨：构造等腰直角三角形）,则$\angle GAP=\angle PQF=45^{\circ}$,$\angle KAP=\angle KHG=90^{\circ}$.$\because$四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AD// BC$,$\angle ABG=\angle BAD=\angle ADP=90^{\circ}$,$CD=AB=4$,$AD=BC=6$,$\therefore$四边形$AGFE$为平行四边形,$\therefore EF=AG$.$\because$点$P$是$CD$的中点,$\therefore DP=2$.$\because \angle KAP=\angle BAD=90^{\circ}$,$\therefore \angle KAB=\angle PAD$,$\angle AKB=\angle APD$（依据：等角的余角相等）,$\therefore \frac{AB}{BK}=\frac{AD}{DP}=3$,$\therefore BK=\frac{4}{3}$,$HK=\frac{1}{3}GH$,$\therefore AK=\sqrt{AB^{2}+BK^{2}}=\frac{4}{3}\sqrt{10}$.$\because \angle KAP=90^{\circ}$,$\angle GAP=45^{\circ}$,$\therefore \angle HAG=45^{\circ}$,$\therefore AH=HG$,$\therefore AK=AH+HK=\frac{4}{3}HG=\frac{4}{3}×\frac{4}{10}$,$\therefore AH=HG=\sqrt{10}$,$\therefore EF=AG=\sqrt{AH^{2}+HG^{2}}=2\sqrt{5}$.

15. 画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；
……
如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5 000块，则至少要画的直线条数是100.

答案： III15 $100$
[解析]画1条直线,最多把1张圆形纸片分割成$2=(1+1)$块区域;画2条直线,最多把1张圆形纸片分割成$4=(1+1+2)$块区域;画3条直线,最多把1张圆形纸片分割成$7=(1+1+2+3)$块区域$·s·s$画$n$条直线,最多把1张圆形纸片分割成$1+1+2+3+·s+n=[1+\frac{n(n+1)}{2}]$块区域.$\because$将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块,$\therefore 1+\frac{n(n+1)}{2}\geq 5000$.当$1+\frac{n(n+1)}{2}=5000$时,化简得$n^{2}+n-9998=0$,解得$n=\frac{-1+\sqrt{39993}}{2}$（负值已舍去）.$\because 199^{2}=39601＜39993＜40000=200^{2}$,$\therefore 199＜\frac{-1+\sqrt{39993}}{2}＜200$,$\therefore 99＜\frac{-1+\sqrt{39993}}{2}$,故至少要画的直线条数是100.