《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

14. 如图(1),点$A_{1}(x_{1},y_{1})$是函数$y=\frac{1}{x}(x ＞ 0)$图象上任意一点,过$A_{1}$向$y$轴作垂线交$y$轴于点$B_{1}$,向$x$轴作垂线交$x$轴于点$C_{1}$,矩形$A_{1}B_{1}OC_{1}$的周长$L_{1}=2(A_{1}B_{1}+A_{1}C_{1})=2(x_{1}+y_{1})=2(x_{1}+\frac{1}{x_{1}})$.当$x_{1}=\frac{1}{x_{1}}$时,$L_{1}$有最小值4;如图(2),点$A_{2}(x_{2},y_{2})$是函数$y=\frac{2}{x}(x ＞ 0)$图象上任意一点,同样作矩形$A_{2}B_{2}OC_{2}$,它的周长$L_{2}=2(x_{2}+\frac{2}{x_{2}})$,同理得$L_{2}$的最小值为$4\sqrt{2}$;$·s$;点$A_{n}(x_{n},y_{n})$是函数$y=\frac{n}{x}(x ＞ 0,n$为正整数)图象上任意一点,作矩形$A_{n}B_{n}OC_{n}$,它的周长为$L_{n}$,则$L_{n}$的最小值为$4\sqrt{n}$.

答案： 14. $4\sqrt{n}$
【解析】当$x_{1}=\frac{1}{x_{1}}$时，$L_{1}$有最小值$4\sqrt{1}$；当$x_{2}=\frac{2}{x_{2}}$时，$L_{2}$有最小值$4\sqrt{2}$；当$x_{3}=\frac{3}{x_{3}}$时，$L_{3}$有最小值$4\sqrt{3}$；$·s$；故当$x_{n}=\frac{n}{x_{n}}$时，$L_{n}$有最小值$4\sqrt{n}$.

15. (本题9分)
(1) 先化简,再求值:$x(5x - 8y)-4(x - y)^{2}$,其中$x$,$y$满足$x + 2y = 0$.
(2) 解方程组:$\begin{cases}x - y = 2,\\2x + 3y = - 1.\end{cases}$

答案： 15.
(1)原式$=5x^{2}-8xy-4(x^{2}-2xy+y^{2})$
$=5x^{2}-8xy-4x^{2}+8xy-4y^{2}$
$=x^{2}-4y^{2}$.
当$x+2y=0$时，$x^{2}-4y^{2}=(x+2y)(x-2y)=0$.
(2)$\begin{cases}x-y=2,&①\\2x+3y=-1.&②\end{cases}$
①$×3$，得$3x-3y=6$，③
③+②，得$5x=5$，解得$x=1$，
把$x=1$代入①，得$y=-1$，
$\therefore$方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=-1.\end{cases}$

16. (本题10分)
如图,已知菱形$ABCD$的顶点在方格纸的格点上,其中$A$,$B$,$C$的坐标分别为$(0,1)$,$( - 2,4)$,$( - 4,1)$.该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形(顶点均在格点上).
(1) 画出平面直角坐标系,并写出对称中心$G$的坐标和点$B$的对应点$B'$的坐标;
(2) 将菱形$ABCD$平移,使点$C$的对应点为点$B$,画出平移后的菱形.

答案：
16.
(1)画出平面直角坐标系如图所示.

对称中心$G$的坐标为$(0,-\frac{1}{2})$.
点$B$的对应点$B^{\prime}$的坐标为$(2,-5)$.
(2)画出平移后的菱形如图所示.

17. (本题10分)
某企业为提高生产效率,采购了相同数量的$A$型、$B$型两种智能机器人,购买$A$型机器人的总费用为90万元,购买$B$型机器人的总费用为60万元,$B$型机器人单价比$A$型机器人单价低3万元.
(1) 求$A$型、$B$型两种机器人的单价.
(2) 该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线,要求$A$,$B$两种型号的机器人各至少配备1台,且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案.

答案： 17. 名师教审题
实际应用题系列
根据题意，设$A$型机器人的单价为$a$万元，列表如下：
机器人 单价/万元 购买机器人的总费用/万元 购买数量/台
A型 $a$ 90 $\frac{90}{a}$
B型 $a - 3$ 60 $\frac{60}{a - 3}$
根据题意可列方程$\frac{90}{a}=\frac{60}{a - 3}$.
(1)设$A$型机器人的单价为$a$万元，则$B$型机器人的单价为$(a - 3)$万元.
根据题意，得$\frac{90}{a}=\frac{60}{a - 3}$，解得$a = 9$，
经检验，$a = 9$是所列分式方程的根，且符合题意（点拨：易失分点，解分式方程一定要验根），$9 - 3 = 6$(万元).
答：$A$型机器人的单价为9万元，$B$型机器人的单价为6万元.
(2)设配备$A$型机器人$x$台，则配备$B$型机器人$(10 - x)$台.
根据题意，得$9x + 6(10 - x)\leq70$，解得$x\leq\frac{10}{3}$.
又$\because A$，$B$两种型号的机器人各至少配备1台，且$x$为正整数，$\therefore x$的值为1，2，3，$\therefore$共有三种配备方案.
方案1：配备$A$型机器人1台，$B$型机器人9台.
方案2：配备$A$型机器人2台，$B$型机器人8台.
方案3：配备$A$型机器人3台，$B$型机器人7台.