《2026年金考卷中考试题汇编45套数学山东专版》

13. 如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,已知$\odot O$的半径为2,$AC = 2\sqrt{2}$,则$\angle ABC$的度数为135°.

答案：
13 135°
[解析]如图,连接OA,OC,则OA = OC = 2,
∴OA² + OC² = AC²,
∴∠AOC = 90°。在优弧AC上取一点P,连接AP,CP,则∠APC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 45°(依据:圆周角定理),
∴∠ABC = 180° - ∠APC = 135°(依据:圆内接四边形的对角互补)。

14. 如图,一次函数$y = kx + 6$与反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$的图象交于A,B两点,点A的横坐标为1,点B的纵坐标为1,点C为线段AB的中点,连接OC交反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$的图象于点D,则$\frac{OD}{OC}$的值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$.

答案： 14 $\frac{\sqrt{5}}{3}$
[解析]易知A(1,m),B(m,1),将A(1,m),B(m,1)分别代入y = kx + 6,得$\begin{cases}m = k + 6\\1 = mk + 6\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = - 5\\m = 1\end{cases}$(不合题意,舍去)或$\begin{cases}k = - 1\\m = 5\end{cases}$，
∴A(1,5),B(5,1),
∴C(3,3),
∴直线OC的解析式为y = x,令$\frac{5}{x}$ = x,得x = $\sqrt{5}$(负值已舍),
∴D($\sqrt{5}$,$\sqrt{5}$),
∴OD = $\sqrt{10}$,
∴$\frac{OD}{OC}$ = $\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{3}$。

15. 如图,在正方形ABCD中,$BC = 4$,点E是CB延长线上一点,且$BE = 2$,点F为线段AE上一动点,连接BF,将线段BF绕点B顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段BG,连接DG,FG,则当FG的长最小时,DG的长为4.

答案：
15 4
[解析]易得AE = $\sqrt{AB² + BE²}$ = 2$\sqrt{5}$。易知△BFG为等腰直角三角形,
∴FG = $\sqrt{2}$BF,
∴当BF的长最小时,FG的长取最小值。易知当BF⊥AE时,BF的长取最小值(点拨:垂线段最短),如图所示,此时BF = $\frac{AB· BE}{AE}$ = $\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。分别过点F,G作EC的垂线,垂足分别为M,N。易证△GNB≌△BMF(提示:“一线三垂直”全等模型),
∴BN = FM,GN = BM。易证△BMF∽△ABE,
∴$\frac{FM}{BF}$ = $\frac{BE}{AE}$ = $\frac{2}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴FM = $\frac{\sqrt{5}}{5}$BF = $\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$ = $\frac{4}{5}$,
∴BM = $\sqrt{BF² - FM²}$ = $\frac{8}{5}$,BN = FM = $\frac{4}{5}$,
∴GN = BM = $\frac{8}{5}$,NC = BC - BN = $\frac{16}{5}$。过点G作GK⊥CD,垂足为K,则四边形GNCK是矩形,
∴CK = GN = $\frac{8}{5}$,GK = NC = $\frac{16}{5}$,
∴DK = DC - CK = $\frac{12}{5}$,
∴DG = $\sqrt{DK² + GK²}$ = 4。

16. (本题每小题4分,共8分)
(1) 计算:$|-3|+(-\frac{1}{2})^{0}+\cos60^{\circ}-\sqrt{4}$.
(2) 先化简,再求值:$[(2x - y)^{2}-(2x - 3y)(x + y)-4y^{2}]÷2x$,其中$x = 2026,y = - 2$.

答案： 16
(1)原式 = 3 + 1 + $\frac{1}{2}$ - 2 = $\frac{5}{2}$。(2分)
(2)原式 = [4x² - 4xy + y² - (2x² + 2xy - 3xy - 3y²) - 4y²]÷2x = [4x² - 4xy + y² - (2x² - xy - 3y²) - 4y²]÷2x = (4x² - 4xy + y² - 2x² + xy + 3y² - 4y²)÷2x = (2x² - 3xy)÷2x = x - $\frac{3}{2}$y。
∵x = 2026,y = - 2,
∴原式 = x - $\frac{3}{2}$y = 2026 - $\frac{3}{2}$×(- 2) = 2029。(4分)

17. (本小题满分8分)
作图与证明:
已知:如图(1),$\angle BAD$的两边$AB = AD$,在平面内求作一点C,使四边形ABCD是菱形.
作法1:如图(2),分别以点B,D为圆心,AD的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,CB,则四边形ABCD是菱形.
作法2:(1)以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AD于点F,E;
(2)分别以点E,F为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,两弧在$\angle BAD$内交于点G;
(3)作射线AG;
(4)以点D为圆心,AD的长为半径画弧,交射线AG于点C,连接CD,CB,则四边形ABCD是菱形.
根据以上信息,完成下列问题.
问题1:作法1中判定四边形ABCD是菱形的依据是四条边都相等的四边形是菱形.
问题2:请按照作法2在图(1)中完成作图,并证明四边形ABCD是菱形.

答案：
17 问题1:四条边都相等的四边形是菱形(2分)
问题2:作图如图所示。

证明:由作图可知,AG平分∠BAD,DC = AD,
∴∠BAC = ∠DAC,∠DAC = ∠DCA,
∴∠BAC = ∠DCA,
∴AB//CD。又
∵AB = AD = CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形。(8分)